Fonksiyonların Örtenlik ve Birebirliği Üzerine Bir Soru

MathematicsFunctionsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

5. $\boxed{a} = a$ doğal sayısının 3 ile bölümünden kalan olmak üzere

$$f(x) = \begin{cases} x-1 & \boxed{x}=0 \\ |x|-1 & \boxed{x}=1 \\ |x-1| & \boxed{x}=2 \end{cases}$$

şeklindedir.

I. $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ birebirdir.

II. $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{N}$ örtendir.

III. $f: \mathbb{Z}^- \to \mathbb{Z}^-$ örtendir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız II

B) II ve III

C) Yalnız III

D) I ve II

E) I ve III

Soruda görsel içerik var: Soru, bir üçgen sembolü içerisindeki sayının 3'e bölümünden kalanı tanımlar. Fonksiyon f(x), içerisindeki x'in 3'e bölümünden kalana bağlı olarak üç farklı durum içermektedir: kalan 0 ise x-1, kalan 1 ise |x|-1, kalan 2 ise |x-1|. Fonksiyonun tanım ve değer kümelerine yönelik üç farklı iddia (öncül) liste halinde sunulmuştur.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Nisanur, bu parçalı fonksiyon sorusunu birlikte inceleyelim. Önce kuralımızı iyi anlayalım.

Fonksiyon Tanımı

$$\Delta(a) = a \pmod{3}$$
2
Adım 2

Burada üçgen içindeki a, a doğal sayısının 3 ile bölümünden kalan olarak tanımlanmış. Buna göre f x fonksiyonu x'in 3 ile bölümünden kalanına göre üç farklı kurala sahip.

$$f(x) = \begin{cases} x-1 & x \equiv 0 \pmod{3} \\ |x|-1 & x \equiv 1 \pmod{3} \\ |x-1| & x \equiv 2 \pmod{3} \end{cases} $$
3
Adım 3

Birinci öncülümüz f tam sayılardan tam sayılara fonksiyonunun birebir olduğunu iddia ediyor. Birebir olması için her farklı girdi için farklı bir çıktı almalıyız.

I. Öncül: Birebirlik?

$$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$
4
Adım 4

Şimdi x eşittir sıfır ve x eşittir iki değerlerini deneyelim.

$$x = 0 \implies 0 \equiv 0 \pmod{3} \implies f(0) = 0 - 1 = -1$$
5
Adım 5

Şimdi de iki değerine bakalım. İki, üç ile bölündüğünde iki kalanını verir. Üçüncü kuralı uygularsak, mutlak değer içinde iki eksi bir, yani sonuç bir çıkar.

$$x = 2 \implies 2 \equiv 2 \pmod{3} \implies f(2) = |2 - 1| = 1$$
6
Adım 6

Birebirliği bozacak bir örnek arayalım. x eşittir eksi bir için bakalım. Eksi bir, üç ile bölündüğünde iki kalanını verir.

$$x = -1 \implies -1 \equiv 2 \pmod{3} \implies f(-1) = |-1 - 1| = |-2| = 2$$
7
Adım 7

Henüz bir çakışma bulamadık. Peki ya bir için? Birin üç ile bölümünden kalan birdir. Mutlak değer bir eksi bir, sıfır eder.

$$x = 1 \implies 1 \equiv 1 \pmod{3} \implies f(1) = |1| - 1 = 0$$
8
Adım 8

Diğer taraftan x eşittir üç için bakalım. Üç, tam bölünür. Üç eksi bir, iki eder. Bakalım, f eksi bir de ikiydi, f üç de iki çıktı.

$$x = 3 \implies 3 \equiv 0 \pmod{3} \implies f(3) = 3 - 1 = 2$$
9
Adım 9

Gördüğün gibi f eksi bir ile f üç değerleri birbirine eşit çıktı. Farklı iki eleman aynı görüntüye gittiği için fonksiyon birebir değildir. Yani birinci öncül yanlış.

❌ Birebir değil.

10
Adım 10

Şimdi ikinci öncüle bakalım. Pozitif tam sayılardan doğal sayılara fonksiyon örten midir?

II. Öncül: Örtenlik?

$$f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{N}$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Functions
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Süreklilik Analizi Functions · Orta Fonksiyon Değeri Bulma Functions · Orta Süreksizlik Noktalarının Sayısı Functions · Orta Lineer Fonksiyonlarda Değişken Dönüşümü Functions · Orta İkinci Dereceden Fonksiyon ve Eşitsizlik Functions · Zor f(2x)'in f(x) cinsinden eşiti Functions · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir