Fonksiyonların Limit Özellikleri
Yayınlanma:
3. f ve g, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı birer fonksiyondur. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, $f(x)$ ve $g(x)$’ten her birinin alabileceği tüm değerleri ifade eden en geniş aralıklar $$a \le f(x) \le b$$ $$-2a \le g(x) \le 6$$ biçimindedir. Her $x_0$ gerçel sayısı için $$f(x_0) + g(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Ali, seninle birlikte bu güzel AYT tarzı limit sorusunu çözelim.
Fonksiyon ve Limit İlişkisi
Sorumuzda f ve g fonksiyonlarının görüntü kümeleri aralıklarla verilmiş. Ayrıca her x sıfır için geçerli olan bir limit denklemimiz var.
Verilen denklemde g x sıfırı yalnız bırakalım. g x sıfır, f in x sıfıra giderken limiti eksi f x sıfır değerine eşittir.
Dikkat edersek, bu ifadenin sağ tarafı fonksiyondaki süreksizliğin miktarını temsil eder. Eğer fonksiyon sürekliyse bu fark sıfır olur.
Her $x_0$ için geçerli olması, sağ tarafın sabit bir değer alabileceğini gösterir.
Ancak burada kritik olan bilgi şu: f fonksiyonunun limitinin olduğu her noktada, bu fark f fonksiyonunun alabileceği değerler ile ilişkilidir.
Görüntü kümelerine tekrar bakalım. f fonksiyonu a ile b arasında değerler alıyor.
Görüntü Kümeleri Analizi
Limit ile fonksiyonun değeri arasındaki fark, yani g fonksiyonunun değeri, f in alabileceği maksimum farklar kadar olabilir.
f in alabileceği değerler aralığı b eksi a uzunluğundadır. Limitin her x sıfır için tanımlı olması, fonksiyonun bir sıçrama süreksizliği veya sürekli olduğunu gösterir.
Paylaşılan denkleme göre g(x) sabit bir değer veya f'in değişimine bağlı bir değer olmalı.
Soru kökünde g x in tüm alabileceği değerler aralığı verildiği için, g'yi tek bir değer değil, bir aralık olarak düşünmeliyiz.
Denklemi yeniden düzenleyelim: limit f x, f x sıfır artı g x sıfıra eşittir. Bu toplamın sabit bir değer olması gerekir çünkü limit x sıfıra bağlı olmayan yerel bir değerdir.
f in alabileceği en küçük değer a, en büyük değer b. g nin alabileceği en küçük değer eksi 2a, en büyük değer ise 6 dır.
Bu değerlerin toplamı, yani limit değerinin alabileceği sınırları düşünürsek, f ve g birbirini dengelemeli ki bu eşitlik her x sıfır için sağlansın.
Uç değerlerin toplamı eşit olmalıdır:
Yani f in minimumu ile g nin maksimumunun toplamı, f in maksimumu ile g nin minimumunun toplamına eşit olmalıdır.
Buradan b değerini a cinsinden bulabiliriz. Eksi 2 a yı karşıya atarsak, b eşittir 3 a artı 6 elde ederiz.
Şimdi elimizdeki diğer bilgiyi kullanalım. g fonksiyonunun toplam genişliği yani 6 eksi eksi 2 a, f fonksiyonunun alabileceği değişim miktarına eşittir.
Aralık Genişlikleri
Limit fark denklemine göre bu iki aralık genişliği birbirine eşit olmalıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
15 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
