Fonksiyonlarda Süreklilik Farkı Kavramı
Yayınlanma:
4. Bir fonksiyonun a noktasındaki sağ limiti ile sol limiti farkının pozitif değerine, bu fonksiyonun a noktasındaki süreklilik farkı denir ve $\underset{x \to a}{\text{Fark } f(x)}$ ile gösterilir. Dik koordinat düzleminde gerçel sayılarda tanımlı f fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı şekilde gösterilmiştir. f fonksiyonu, $[0,4]$ aralığındaki a tam sayısı için $f(a) > \underset{x \to a}{\text{Fark } f(x)}$ eşitsizliğini sağladığına göre; a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 4
Soruda görsel içerik var: Y ekseninde 0'dan 4'e kadar değerleri olan, X ekseninde 0'dan 4'e kadar noktaları gösteren bir fonksiyon grafiği verilmiştir. Grafik şu noktalardan oluşur: (0,3) noktasında dolu bir daire, (1,1) boş daire, (1,2) dolu daire, (2,4) boş daire, (2,3) dolu daire, (3,1) dolu daire, (3,3) boş daire, (4,0) dolu daire. Ayrıca (0,4) noktasında boş bir daire vardır ve grafiğin çeşitli noktalarında limit kopukluklarını gösteren kesikli çizgiler bulunmaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba sude, bu limit sorusunu adım adım birlikte çözelim. Soruda bize yeni bir terim olan süreklilik farkı tanımlanmış.
Süreklilik Farkı
Süreklilik farkı, bir noktadaki sağ limit ile sol limitin farkının mutlak değeri olarak düşünülmelidir. Yani bu iki değerin farkının pozitif karşılığıdır.
Bizden, sıfır ile dört kapalı aralığındaki tam sayılar için, fonksiyonun o noktadaki değerinin süreklilik farkından daha büyük olduğu durumları bulmamız isteniyor. Yalnızca sıfır, bir, iki, üç ve dört değerlerini deneyeceğiz.
Seçeneklerimize x eşittir sıfırla başlayalım.
$a = 0$
Grafikte sıfır noktasına baktığımızda içi dolu nokta y ekseninde üçe denk geliyor. Yani f sıfır değeri üçtür.
Sıfıra soldan yaklaştığımızda grafiğin dörde ulaştığını, sağdan yaklaştığımızda ise üçten başladığını görebiliriz. Dolayısıyla sol limit dört, sağ limit de üç.
Süreklilik farkı limitlerin farkının mutlak değeriydi. Üç eksi dördün mutlak değerinden bir sonucunu alırız.
Fonksiyon değerimiz o noktadaki farktan büyük mü diye bakıyoruz, evet üç birden büyüktür. Sıfır değeri istenen eşitsizliği sağlar.
Bu yüzden ilk olarak sıfırı çözüm kümemize dahil ediyoruz.
Geçelim bir noktasına.
$a = 1$
Bir noktasının grafikte yukarıdaki içi dolu karşılığı ikidir.
Bire hem sağdan hem de soldan yaklaştığımızda, fonksiyon değerleri y eşittir bir hizasında buluşuyor. İki yönlü limit de birdir.
Bir eksi birin mutlak değerinden süreklilik farkı sıfır çıkar.
F bir değeri olan iki, sıfırdan büyük olduğu için, bir noktası da bu şartı başarıyla sağlar.
Bunu da yeşille işaretleyelim.
Tahtamızı temizleyip grafik üzerinden iki noktasıyla devam edelim.
$a = 2$
İki noktasındayken içi dolu yuvarlağın y değeri üçtür.
İkiye soldan yaklaştığımız zaman grafik yukarı, dörde doğru çıkıyor. Sağdan yaklaşırken ise yatay çizgiden geldiğimiz için limit değerimiz direkt olarak üçtür.
Farkı hesaplarsak, üç ve dördün farkından yine bir elde ederiz.
Çözümün devamı Solvi’de
18 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
