Fonksiyonlarda Limit ve Özel Tanımlı Eksenler
Yayınlanma:
$y = f(x)$ fonksiyonu için,
- $\lim_{x \to a^+} f(x) = - \lim_{x \to a^-} f(x)$ koşulunu sağlayan a noktaları için $x = a$ doğrusuna f fonksiyonunun yapay ekseni denir.
- $\lim_{x \to b} f(x) = f(b)$ koşulunu sağlayan b noktaları için $y = b$ doğrusuna f fonksiyonunun sanal ekseni denir.
- Yapay eksen ile sanal eksenlerin kesişim noktalarına f fonksiyonunun odak noktaları denir.
Buna göre,
$$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 8 & , x < -1 \\ x^2 + x - 6 & , -1 \le x \le 3 \\ -2x + 12 & , x > 3 \end{cases}$$
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için
I. $x = -1$ doğrusu yapay eksendir.
II. $y = 3$ doğrusu sanal eksendir.
III. Fonksiyonun sadece bir tane odak noktası vardır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II
D) II ve III E) I, II ve III
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selamlar. Bu soruda fonksiyonlarda limit kavramı üzerinden tanımlanmış 'yapay eksen', 'sanal eksen' ve 'odak noktası' terimlerini inceleyerek verilen yargıların doğruluğunu kontrol edeceğiz.
Yapay ve Sanal Eksen Analizi
İlk olarak yapay eksen tanımına bakalım. Bir a noktası için sağdan limit soldan limitin eksilisine eşit olmalı. Yani limitler zıt işaretli olmalı.
1. Yapay Eksen Şartı
Birinci yargıdaki x eşittir eksi bir noktasını test edelim. Öncelikle eksi bire sağdan yaklaşalım. Fonksiyonun orta parçasını kullanıyoruz.
Eksi bir yazdığımızda, bir eksi bir eksi altıdan sonuç eksi altı gelir.
Şimdi eksi bire soldan yani x küçüktür eksi bir bölgesinden yaklaşalım. Üstteki parçayı kullanıyoruz.
Eksi birin karesi bir, ikiyle çarptık iki, sekiz çıkardık eksi altı bulduk.
Bakın, sağ limit eksi altı, sol limit de eksi altı çıktı. Şartımız sağ limitin sol limitin eksilisine eşit olmasıydı. Fakat burada eksi altı, eksi altının negatifi olan artı altıya eşit değil.
Bu durumda x eşittir eksi bir doğrusu bir yapay eksen değildir. Birinci yargı yanlış.
Şimdi ikinci yargıyı, yani sanal eksen tanımını inceleyelim. Şartımız, limit değerinin görüntüsüne eşit olması. Bu aslında b noktasında fonksiyonun sürekli olması demektir.
2. Sanal Eksen Şartı
Yargıdaki y eşittir üç doğrusu için b eşittir üç noktasını inceleyelim. Önce b eşittir üçteki sağ ve sol limitleri kontrol ederek limit var mı bakalım.
Üçe soldan yaklaşırken orta parçayı kullanıyoruz. Üçün karesi dokuz, artı üç, eksi altıdan sonuç altı çıkar.
Üçe sağdan yaklaşırken en alttaki parçayı kullanıyoruz. Eksi iki çarpı üç artı on ikiden, eksi altı artı on iki, yine altı buluruz.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
