Fonksiyonlarda Eşitsizlik Çözümü

Merhaba arkadaşlar. Bugün fonksiyonlar ve eşitsizlikler konusundan oldukça şık, AYT tarzı bir soru çözeceğiz. Sorumuzda üçüncü dereceden bir fonksiyon ve bu fonksiyona bağlı karmaşık görünen bir eşitsizlik verilmiş.

Çözüme fonksiyonun yapısını inceleyerek başlayalım. $f(x) = x^3 + x - 12$ olarak verilmiş.

İlk olarak bu fonksiyonun türevine bakalım. Türevini aldığımızda $3x^2 + 1$ elde ederiz. $x^2$ negatif olamayacağı için, bu ifade her zaman sıfırdan büyüktür.

Türevin daima pozitif olması, fonksiyonun **daima artan** olduğunu gösterir. Bu özellik çözümümüz için hayati önem taşıyor: Yani $f(a) ext{ küçük eşit } f(b)$ ise, içerdeki $a$ da $b$'den küçük veya eşittir.

Şimdi sorudaki eşitsizliği düzenleyelim.

Sol taraftaki parantezi dağıtırsak; $f(x)$ küp artı $f(x)$ elde ederiz.

Sağ taraftaki artı on ikiyi, sol tarafa eksi olarak atalım.

Şimdi sol tarafa dikkatlice bakın. Fonksiyonumuzun orijinal kuralı $t^3 + t - 12$ şeklindeydi. Burada $t$ yerine $f(x)$ gelmiş.

Yani eşitliğin sol tarafı aslında $f$ bileşke $f(x)$ ifadesine eşit.

Fonksiyonumuzun **daima artan** olduğunu ispatlamıştık. Bu sayede her iki taraftan dıştaki $f$ fonksiyonunu silebiliriz ve eşitsizlik yön değiştirmez.