Fonksiyonlar ve Limit Sorusu

Question

197. a sıfırdan farklı bir gerçel sayı, b ve c gerçel sayılar olmak üzere gerçel sayılar kümesi üzerinde $f(x) = ax + b$ biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu ve bu fonksiyonun tersi olan $f^{-1}$ fonksiyonu ile ilgili $$\lim_{x 	o b} \frac{f(x)}{f^{-1}(x)} = c$$ $f(1) = 3$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre $c$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 10 D) 11 E) 14

Solvi · Accepted Answer

Selam Melisa, bu limit ve fonksiyon sorusunu birlikte adım adım inceleyelim. Öncelikle bizden istenen, verilen şartları sağlayan c değerlerinin toplamını bulmak. Fonksiyonumuz f x eşittir a x artı b şeklinde verilmiş. Ters fonksiyonu bulmak için x'i yalnız bırakmalıyız. Şimdi bize verilen limit ifadesine bakalım. x, b'ye yaklaşırken f x bölü f'in tersinde x, c'ye eşitmiş. Değerleri yerine koyalım. Limit ifadesini düzenlersek, paydadaki a'yı yukarı çarpım olarak atarız. Limitin bir gerçel sayıya yani c'ye eşit olabilmesi için, x yerine b koyduğumuzda payda sıfır oluyorsa payın da sıfır olması gerekir. Yani sıfır bölü sıfır belirsizliği olmalı. Pay kısmında x yerine b yazalım. a çarpı b artı b ifadesi sıfıra eşit olmalı. Bu ifadeyi b parantezine alırsak, b çarpı parantez içinde a artı bir eşittir sıfır sonucuna ulaşırız. Buradan iki ihtimal doğar. Ya b eşittir sıfırdır, ya da a eşittir eksi birdir. Bu iki durumu ayrı ayrı incelemeliyiz. İlk olarak b'nin sıfır olduğu durumu ele alalım. f bir eşittir üç bilgisi bize verilmişti.

Fonksiyonlar ve Limit Sorusu

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm