Fonksiyon ve Türev Grafiği Analizi

Merhaba arkadaşlar. Bugün birlikte türev ve grafik yorumlama içeren güzel bir AYT sorusu çözeceğiz. Soruda bize f fonksiyonu ve onun türevi olan f üssü fonksiyonunun grafikleri eksenler belirtilmeden verilmiş.

İki kağıtta da koordinat sisteminin aynı konumda olduğu belirtilmiş. İlk olarak f fonksiyonunun parçalı yapısına ve türev değerlerine bakalım. f fonksiyonu doğrusal parçalardan oluşuyor, bu yüzden türevi bu parçaların eğimlerine eşit olmalı.

Şimdi grafikleri hizalayarak eksenlerin yerini bulmaya çalışalım. f üssü grafiğindeki sabit değerlere bakalım. En soldaki parça iki birim genişliğinde ve türev değeri sabit. Üstteki f grafiğine baktığımızda, ilk parçanın eğimi dikeyde bir, yatayda bir birim ilerlediği için artı birdir.

Türev grafiğinde bu aralığa karşılık gelen değerin sıfırın üstünde olduğunu görüyoruz. İkinci parçada f fonksiyonu aşağı doğru iniyor, yani eğim negatif. Türev grafiğinde de buna karşılık gelen parça eksen altındadır.

Soruda çok kritik bir bilgi verilmiş: f fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaların apsisleri toplamı beştir. f fonksiyonunun grafiğine baktığımızda, üç noktada kopma veya boşluk ihtimali var. Bu sıçrama noktalarını x bir, x iki ve x üç diye adlandıralım.

Grafiği incelediğimizde, dikey ızgara çizgilerini sayarak kopmaların konumlarını belirleyebiliriz. Eğer dikey ekseni grafiğin sol tarafına bir yere yerleştirirsek, süreksiz noktalar ardışık tamsayılar gibi görünüyor.

Gelin eksenleri şöyle yerleştirelim. Eğer y ekseni f grafiğinin başladığı yerin üç birim solundaysa, kopma noktaları iki, üç ve sıfır gibi değerler alabilir. Ancak toplamın beş olması için en mantıklı senaryo, kopma noktalarının x eşittir iki ve x eşittir üç olmasıdır. Çünkü iki artı üç beştir.

Bu durumda tanım kümesinin sınırlarını belirleyelim. f fonksiyonu sol uçta x eşittir birde başlıyor ve sağ uçta x eşittir beşte bitiyor gibi duruyor. Yani m eşittir bir ve n eşittir beş diyebiliriz.

Bu değerlere göre tanım aralığı bir ile beş açık aralığıdır. Şimdi bizden istenen limite bakalım. İlk kısım, x, m artı n ye, yani altıya giderken f x limitidir.