Fonksiyon ve Limit Problemi

MathematicsFunctions and LimitsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

1. a sıfırdan farklı bir gerçel sayı, b ve c gerçel sayılar olmak üzere gerçel sayılar kümesi üzerinde $f(x) = ax + b$ biçiminde tanımlanan f fonksiyonu ve bu fonksiyonun tersi olan $f^{-1}$ fonksiyonu ile ilgili $$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{f^{-1}(x)} = c$$ $$f(1) = 3$$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre c sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 10 D) 11 E) 14 [2025AYT]

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Nihal, bu limit ve fonksiyon sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak verilen fonksiyonu ve tersini yazarak işe başlayalım.

Verilenler ve Fonksiyonun Tersi

$$f(x) = ax + b \quad (a \neq 0)$$
2
Adım 2

Bir fonksiyonun tersini bulmak için iksi yalnız bırakırız. f iks yerine ye yazıp iksi çekersek ters fonksiyonu elde ederiz.

$$y = ax + b \implies x = \frac{y - b}{a}$$
3
Adım 3

Buradan, f'in tersi fonksiyonu, iks eksi be bölü a olarak bulunur.

4
Adım 4

Şimdi bize verilen limit eşitliğini yazalım. iks, beye yaklaşırken f iks bölü f'in tersi iks limitinin ce gerçel sayısına eşit olduğunu biliyoruz.

Limit Durumunun Analizi

$$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{f^{-1}(x)} = c$$
5
Adım 5

Fonksiyonların açık hâllerini limit ifadesinde yerlerine yerleştirelim.

$$\lim_{x \to b} \frac{ax + b}{\frac{x - b}{a}} = c$$
6
Adım 6

Limit ifadesinde iks yerine be yazdığımızda, payda kısmında be eksi be bölü a elde ederiz ki bu da sıfıra eşittir.

$$\text{Payda: } \lim_{x \to b} \frac{x - b}{a} = \frac{b - b}{a} = 0$$
7
Adım 7

Payda sıfıra yaklaşırken limitin ce gibi bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için, payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Yani sıfır bölü sıfır belirsizliği olmalıdır. Aksi halde limit bir reel sayı belirtmez.

$$\lim_{x \to b} (ax + b) = 0$$
8
Adım 8

Limit değerini yerine yazarsak, a çarpı be artı benin sıfır olması gerektiğini görürüz.

$$ab + b = 0$$
9
Adım 9

Bu ifadeyi be parantezine alırsak, be çarpı, a artı bir eşittir sıfır sonucuna ulaşırız.

10
Adım 10

Çarpımın sıfır olması için ya be eşittir sıfır olmalıdır ya da a artı bir eşittir sıfırdan a eşittir eksi bir olmalıdır. Şimdi bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durumlar:

$$\text{1. Durum: } b = 0 \quad \text{veya} \quad \text{2. Durum: } a = -1$$
11
Adım 11

Birinci durumla başlayalım. be eşittir sıfır olsun.

1. Durum: $b = 0$

$$f(x) = ax$$
12
Adım 12

Soruda bize f bir eşittir üç bilgisi verilmişti. Bunu kullanarak a değerini bulalım.

$$f(1) = a \cdot 1 = 3 \implies a = 3$$

Çözümün devamı Solvi’de

11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Functions and Limits
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Doğrusal Fonksiyonlar ve Limit Sorusu Functions and Limits · Zor Limit of a Function and its Inverse Functions and Limits · Orta Doğrusal Fonksiyon ve Limit Problemi Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyonlar ve Limit Sorusu Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyon ve Limit Problemi Functions and Limits · Zor Limit ve Fonksiyon Grafiği Sorusu Functions and Limits · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir