Fonksiyon Limiti ve Ters Fonksiyon Sorusu

Merhaba Elif, bu güzel limit ve fonksiyon sorusunu birlikte adım adım çözelim.

İlk olarak, g fonksiyonunun tersini bulalım. g x eşittir a x artı b şeklinde tanımlı olduğuna göre, g nin tersi fonksiyonunu yazalım.

Şimdi soruda bize verilen limit ifadesini inceleyelim. x, a değerine yaklaşırken limit değerinin bir K gerçel sayısı olduğunu biliyoruz.

Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda x eksi a çarpı x artı a elde ederiz. x, a değerine giderken payda sıfıra yaklaşır.

Limitin bir reel sayıya eşit olabilmesi için, sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşmalıdır. Yani, pay kısmındaki ifadenin de x, a değerine giderken sıfıra yaklaşması gerekir.

Buradan, g a çarpı g nin tersinde a ifadesinin sıfır olması gerektiği sonucuna ulaşırız.

Bu durum bize iki farklı durum olduğunu gösterir. İlk durum g a değerinin sıfır olması, ikinci durum ise g nin tersinde a değerinin sıfır olmasıdır.

Öncelikle birinci durumu inceleyelim. g a eşittir sıfır olsun.

g x fonksiyonunda x yerine a yazarsak, a kare artı b eşittir sıfır olur. Buradan b değerini eksi a kare olarak buluruz.

Bulduğumuz bu b değerini fonksiyonlarda yerine yazalım. Bu durumda g x eşittir a parantezinde x eksi a olur.

Şimdi bu fonksiyonları limit ifadesinde yerine yazarak sadeleştirmeleri yapalım.

Burada paydaki a ve paydadaki a sadeleşir. Aynı şekilde x eksi a terimleri de birbirini götürür.

x yerine a yazdığımızda limit değerimiz K, a kare artı a bölü iki a olur. a sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirerek K eşittir a artı bir bölü iki buluruz.

Şimdi g iki eşittir bir bilgisini kullanalım. Birinci durumda g x fonksiyonumuz a x eksi a kare idi. x yerine iki yazalım.