Fonksiyon Grafikleri ve Teğet Eğimi
Yayınlanma:
21. Dikdörtgen kâğıdın üzerine dik koordinat düzlemi ile gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $f + g$ fonksiyonlarının grafiklerinin bir bölümü şekildeki gibi çiziliyor. [Görsel] Bu kâğıdın bir kenarından, eşit uzunlukta ve birbirine paralel kesim yapılıp kesilen kısım katlandığında $y = (f+g)(x)$ ve $y = f(x)$ grafiklerinin sırasıyla A ve B noktalarında kâğıtlara teğet olduğu görülüyor. $y = g(x)$ grafiğine $(1, g(1))$ noktasında teğet olan doğrunun eğimi $-3$ olduğuna göre $y = x \cdot f(x)$ grafiğine $(1, k)$ noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır? A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4
Soruda görsel içerik var: Bir kartezyen koordinat sistemi üzerinde tanımlı $y = f(x)$ ve $y = (f+g)(x)$ fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir. Grafiklerden biri parabolik, diğeri daha düz bir eğridir. x=1 dikey kesikli çizgisi, her iki fonksiyonu sırasıyla A ve B noktalarında kesmektedir. A noktası $(f+g)(x)$ üzerindedir, B noktası $f(x)$ üzerindedir. $y=1/2$ yatay bir kesikli çizgi, $f(x)$ grafiğinin B noktasındaki konumunu işaret etmektedir. Ayrıca kağıdın sağ tarafında kağıdın katlanmış halini temsil eden bir diyagram yer almaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba! Bu soruda, türevlenebilir fonksiyonların grafiklerinin bir kağıt üzerine çizilip katlanmasıyla oluşan teğetlik durumlarını inceleyeceğiz.
Fonksiyonlar ve Türev
Görselde f artı g ve f fonksiyonlarının bir bölümünü görüyoruz. Kağıt katlandığında, kesim çizgisi boyunca oluşan yeni sınırın f artı g grafiğine A noktasında, f grafiğine ise B noktasında teğet olduğu söyleniyor.
Katlama ve Teğetlik İlişkisi
Katlama çizgisi doğrusal olduğu için bu iki grafiğe aynı doğru teğet olmaktadır. Yani A ve B noktalarındaki türevler birbirine eşittir. x eşittir bir noktasında teğet olduklarını görüyoruz.
Türev kuralını uygularsak, f üssü bir artı g üssü bir, f üssü bire eşit olur.
Buradan f üssü birler birbirini götürür ve g üssü bir değerinin sıfır olduğunu buluruz.
Bize verilen bir diğer bilgi ise g fonksiyonuna x eşittir bir noktasında teğet olan doğrunun eğiminin eksi üç olduğudur. Yani g üssü bir eksi üç olmalıydı ancak az önceki çıkarımımızla çelişiyor gibi görünüyor. Soruyu dikkatli okuyalım.
Verilen Bilgiler
Aslında katlama çizgisi sabit bir eğime sahip ve bu eğime m diyelim. Şekilde A ve B noktalarının dikey hizasına bakarsak, x eşittir bir apsisinde f artı g nin değeri ile f in değeri arasındaki farkı görebiliriz.
Grafikte f in y eksenini kestiği nokta bir bölü iki olarak verilmiş. Ayrıca x eşittir bir noktasında f artı g nin değeri yani A noktasının ordinatı ile B noktasının ordinatına bakalım.
Aynı zamanda teğet doğrusunun eğimi m olsun.f artı g'nin birdeki türevi m'dir. f'in birdeki türevi de m'dir. Buradan g üssü bir eşittir f artı g üssü bir eksi f üssü bir, yani m eksi m'den sıfır çıkar. Fakat soruda g üssü bire eksi üç denmiş.
Buradaki kilit nokta, katlanan kısmın eğiminin orijinal grafiğe göre işaret değiştirmesidir. Teğet doğrusunun orijinal eğimi m ise, katlanan taraftaki teğetlik eksi m olur. Buradan m eksi eksi m, yani iki m farkı oluşur.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
