Fonksiyon Grafikleri ve İntegral ile Alan Hesabı
Yayınlanma:
26. k bir gerçel sayı olmak üzere dik koordinat düzleminde doğrusal g fonksiyonu ile tanım kümesi $[0, 3k]$ kapalı aralığında olan f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
x-ekseni ile f fonksiyonunun grafiği arasında kalan sarı boyalı bölgelerin birimkare türünden alanları içlerine yazılmıştır.
f ve g fonksiyonları için
$$\int_{-1}^{2} f(g(x)) dx = 8$$
eşitliği sağlandığına göre şekilde gösterilen mavi boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 22 B) 28 C) 26 D) 30 E) 24
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat sisteminde y=g(x)=k.x+k doğrusu ve y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. g(x) doğrusu y eksenini k noktasında, x eksenini -1 noktasında kesmektedir. f(x) fonksiyonu [0, 3k] aralığında tanımlıdır. x-ekseni ile f(x) grafiği arasında kalan sarı bölgelerin alanları soldan sağa sırasıyla 7, 4 ve 13 birimkaredir (4 değeri x-ekseninin altındaki bölgeye yazılmıştır). g(x) doğrusu, f(x) grafiği ve x=3k düşey hattı arasında kalan bölge maviye boyanmıştır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu soruda, verilen integral eşitliğini ve grafikteki alanları kullanarak mavi boyalı bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim.
Mavi Alanı Bulmak
İlk olarak, bize verilen integral eşitliğini inceleyelim. Burada f bileşke g fonksiyonunun integrali verilmiş.
1. İntegral Hesabı
Bu integrali çözmek için değişken değiştirme yapalım. u eşittir g(x) diyelim.
Her iki tarafın türevini alırsak, d u eşittir k çarpı d x olur. Yani d x, d u bölü k'ya eşittir.
Şimdi sınırları güncelleyelim. x eksi bir iken, u sıfır olur. x iki iken, u üç k olur.
| Sınırlar | x \rightarrow u |
|---|---|
| -1 | k(-1+1) = 0 |
| 2 | k(2+1) = 3k |
Bu değerleri integralde yerine yazalım.
Sabit k sayısını karşıya atarsak, f fonksiyonunun 0'dan 3k'ya integralinin 8k olduğunu buluruz.
Şimdi grafiğe dönelim. Belirli integral, eğri altında kalan net alandır. x ekseninin üzerindeki alanlar pozitif, altındakiler negatiftir.
2. Grafik ve Alan İlişkisi
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
