Fonksiyon Grafiği ve Türev İşaretleri

MathematicsDerivativesOrtaYKS

Yayınlanma:

Soru

26. Aşağıda $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

[Grafik gösterimi: x eksenini 1, 5 ve 10 noktalarında kesen, -2, 3, 8 apsisli noktalarda yerel ekstremum değerleri olan bir dalgalı eğri]

Buna göre aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi yanlıştır?

A) $f'(2) < 0$

B) $f'(6) > 0$

C) $f(4) \cdot f'(4) > 0$

D) $f(-3) \cdot f'(-3) > 0$

E) $f(9) \cdot f'(9) < 0$

Soruda görsel içerik var: Bir koordinat düzleminde $y=f(x)$ fonksiyonuna ait bir eğri verilmiştir. Eğri, x-eksenini 1, 5 ve 10 noktalarında kesmektedir. x=-2 noktasında yerel bir maksimum, x=3 noktasında yerel bir minimum ve x=8 noktasında yerel bir maksimum değeri bulunmaktadır. Eksenler üzerinde -5, -2, 0, 1, 3, 5, 8, 10 değerleri işaretlenmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Mert! Seninle birlikte harika bir türev ve fonksiyon grafiği yorumlama sorusu çözelim. Bizden hangi eşitsizliğin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle grafik üzerindeki kritik noktaları inceleyelim.

y = f(x) Fonksiyonunun Analizi

xyO-238-51510y = f(x)
2
Adım 2

Grafiğe baktığımızda yerel ekstremum noktalarını kolayca görebiliriz. Eksi iki ve sekiz noktalarında yerel maksimum, üç noktasında ise yerel minimum bulunmaktadır.

1. Ekstremum Noktaları

$$\begin{aligned} &\text{Yerel Maksimumlar: } x = -2 \text{ ve } x = 8 \\ &\text{Yerel Minimum: } x = 3 \end{aligned}$$
3
Adım 3

Türevin işareti fonksiyonun artan veya azalan olmasına bağlıdır. Grafik artarken türev pozitif, azalırken ise negatiftir. Bu aralıkları yazalım.

2. Artan ve Azalan Aralıklar (Türevin İşareti)

$$\begin{aligned} &x < -2 \implies f'(x) > 0 \\ &-2 < x < 3 \implies f'(x) < 0 \\ &3 < x < 8 \implies f'(x) > 0 \\ &x > 8 \implies f'(x) < 0 \end{aligned}$$
4
Adım 4

Ayrıca fonksiyonun kendi işareti, x ekseninin neresinde olduğuna bağlıdır. Grafik eksenin altındayken fonksiyon negatif, üstündeyken pozitiftir. Bir, beş ve on kesim noktalarına göre fonksiyonun işaretlerini de belirleyelim.

3. Fonksiyon Değerlerinin İşareti

$$\begin{aligned} &x < 1 \implies f(x) > 0 \\ &1 < x < 5 \implies f(x) < 0 \\ &5 < x < 10 \implies f(x) > 0 \\ &x > 10 \implies f(x) < 0 \end{aligned}$$
5
Adım 5

Şimdi elde ettiğimiz bu bilgileri kullanarak seçenekleri tek tek değerlendirelim. A seçeneğiyle başlayalım.

Seçeneklerin Değerlendirilmesi

$$\text{A) } f'(2) < 0$$
6
Adım 6

İki noktası eksi iki ile üç aralığındadır. Fonksiyon bu aralıkta azalan olduğu için türevi negatiftir. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.

7
Adım 7

Şimdi B seçeneğini inceleyelim. Altı noktası için türevin işareti sorulmuş.

$$\text{B) } f'(6) > 0$$
8
Adım 8

Altı noktası üç ile sekiz aralığındadır. Fonksiyon bu aralıkta artan olduğu için türevi pozitiftir. Bu yüzden B seçeneği de doğrudur.

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Derivatives
Zorluk
Orta
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Küre Hacim Değişim Hızı Derivatives · Orta Türevin Değerini Bulma Derivatives · Orta Parabole Teğet Denklemi Derivatives · Orta Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir f fonksiyonu Derivatives · Orta Türev ve Teğet Doğrusu Problemi Derivatives · Orta Rasyonel Fonksiyon Türevi Derivatives · Kolay

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir