Fonksiyon Grafiği ve İntegral Hesabı

MathematicsIntegralZorYKS

Yayınlanma:

Soru

25. Dik koordinat düzleminde tanım kümesi $(0, 6)$ aralığı olan f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Tanım kümesi, f fonksiyonunun tanım kümesi ile aynı olan ve dik koordinat düzlemindeki grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin y-ekseni boyunca negatif yönde a birim ötelenmesi ile elde edilen g fonksiyonu

$$\int_{0}^{2} g(2x) dx < 1$$

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre a sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri için

$$\int_{a}^{3a} g(x) dx$$

integralinin değeri kaçtır?

A) $-2$

B) $2$

C) $-6$

D) $-4$

E) $4$

Soruda görsel içerik var: Grafik, (0, 6) aralığında tanımlı bir f(x) fonksiyonunu göstermektedir. Fonksiyon üç parçadan oluşur: (0, 2] aralığında y=4 sabit doğrusu, (2, 4] aralığında y=-1 sabit doğrusu ve (4, 6] aralığında y=2 sabit doğrusu. 0'dan 2'ye kadar olan kısım başlangıç noktası (0, 4) ve bitiş (2, 4) değerlerini içerir. (2, -1) noktası içi dolu, (4, -1) noktası içi dolu. (4, 2) noktası içi boş, (6, 2) noktası içi dolu. Eksenler üzerinde 2, 4, 6 (x-ekseni) ve -1, 2, 4 (y-ekseni) değerleri işaretlenmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ecem, seninle birlikte bu harika integral ve fonksiyon öteleme sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak, grafiği verilen f fonksiyonunu analiz ederek başlayalım.

Tanım Kümesi ve f(x) Fonksiyonu

yxO24642-1y = f(x)
2
Adım 2

Grafikten görüldüğü gibi, f fonksiyonu sıfır altı aralığında parçalı bir şekilde tanımlıdır. Bu parçaları matematiksel olarak yazalım.

$$f(x) = \begin{cases} 4, & x \in (0, 2] \\ -1, & x \in (2, 4] \\ 2, & x \in (4, 6) \end{cases}$$
3
Adım 3

Şimdi de g fonksiyonunu tanımlayalım. Soruda, g fonksiyonunun f grafiğinin y ekseni boyunca negatif yönde a birim ötelenmesiyle elde edildiği söyleniyor.

$$g(x) = f(x) - a$$
4
Adım 4

Sırada bize verilen eşitsizliği kullanarak a parametresini bulmak var. Eşitsizliğimizi yazalım.

a Değerinin Belirlenmesi

$$\int_{0}^{2} g(2x) \, dx < 1$$
5
Adım 5

Bu integralde değişken değiştirme yöntemi uygulayalım. İki x ifadesine u diyelim.

$$u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}$$
6
Adım 6

İntegral sınırlarını da yeni değişkenimize göre güncelleyelim. x sıfır için u sıfır olur; x iki için u dört olur.

$$\begin{aligned} x &= 0 \implies u = 0 \\ x &= 2 \implies u = 4 \end{aligned}$$
7
Adım 7

Bulduğumuz bu değerleri integralde yerine yazalım.

$$\int_{0}^{4} g(u) \, \frac{du}{2} < 1$$
8
Adım 8

İntegralin başındaki bir bölü iki katsayısını dışarı alıp eşitsizliğin her iki tarafını iki ile çarpalım.

$$\int_{0}^{4} g(x) \, dx < 2$$
9
Adım 9

Şimdi g fonksiyonu yerine f eksi a yazarak integralimizi ayıralım.

$$\int_{0}^{4} (f(x) - a) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx - \int_{0}^{4} a \, dx < 2$$
10
Adım 10

İkinci terim olan sabit a sayısının sıfırdan dörde integrali, dört a değerine eşittir.

$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx - 4a < 2$$
11
Adım 11

Şimdi sıfırdan dörde f x integralini hesaplamak için f fonksiyonunun parçalı tanımını kullanalım.

f(x) İntegralinin Hesabı

$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx$$
12
Adım 12

Sıfır iki aralığında f fonksiyonu dört değerini, iki dört aralığında ise eksi bir değerini alır. Bu değerleri yerleştirelim.

$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx + \int_{2}^{4} (-1) \, dx$$
13
Adım 13

Bu basit integralleri hesaplarsak, ilk kısım sekiz, ikinci kısım ise eksi iki olur.

$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = (2 \times 4) + (2 \times -1) = 8 - 2 = 6$$

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integral
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Belirli İntegral ve Alan Hesabı Integral · Zor Belirli İntegral ile f(x) Fonksiyonu Yorumlama Integral · Zor Belirsiz İntegral Sorusu Integral · Orta İntegral ile Alan Hesaplama Integral · Zor İntegral ile Alan Hesabı Integral · Zor İki Eğri Arasındaki Bölgenin Alanı Integral · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir