Fonksiyon Grafiği ve Eşitsizlik Sayma

Selam Emir. Bu soruda bize eksi dört, dört kapalı aralığında tanımlı bir f fonksiyonu grafiği verilmiş. Bu aralıktaki birbirinden farklı a, b ve c tam sayıları için bir küme oluşturuluyor ve f a küçüktür f b küçüktür f c eşitsizliğini sağlayan kaç farklı küme olduğunu bulmamız isteniyor.

Önce grafiği analiz ederek tam sayıların hangi değerleri aldığını netleştirelim. Aralığımız eksi dört ile artı dört arasındaki tam sayılar.

Şimdi grafiğe bakarak her bir tam sayının fonksiyon altındaki değerine, yani y eksenindeki karşılığına odaklanalım.

Grafikte üç farklı doğru parçası görüyoruz. Birincisi eksi dört ile eksi bir aralığında artan bir doğru. İkincisi eksi bir ile iki aralığında sabit değil, yine artıyor. Üçüncüsü ise iki ile dört aralığında artıyor. Yani fonksiyonumuzun tamamı eksi dört dört aralığında artan bir fonksiyon.

Bir fonksiyon artan olduğunda, x değerleri değiştikçe y değerleri de aynı yönde değişir. Yani x bir küçüktür x iki ise, f x bir de küçüktür f x iki olur.

Bu bilgiye dayanarak, f a küçüktür f b küçüktür f c koşulunun sağlanması için aslında sadece a küçüktür b küçüktür c olmasının yeterli olduğunu görüyoruz.

Bizim elimizde başlangıçta belirlediğimiz toplam dokuz adet tam sayı var. Bunlar eksi dört, eksi üç, eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki, üç ve dört.

İstenen şey, bu dokuz elemanlı kümeden üç farklı eleman seçerek a, b ve c sayılarını belirlemek.

Neden sadece seçim yapmamız yeterli? Çünkü seçtiğimiz herhangi üç farklı sayıyı sıraladığımızda, en küçüğü a, ortancası b ve en büyüğü c olacak şekilde tek bir şekilde eşleşirler.

Bu yüzden problem, dokuzun üçlü kombinasyonu problemine dönüşür.

Dokuzun üçlüsünü hesaplayalım. Pay kısmına dokuz çarpı sekiz çarpı yedi, payda kısmına ise üç çarpı iki çarpı bir yazıyoruz.

Sadeleştirmeleri yapalım. Dokuzu üçe bölersek üç, sekizi ikiye bölersek dört kalır.