Fonksiyon Grafiği ve Azalanlık Analizi

MathematicsFunctions and DerivativesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

Dik koordinat düzleminde $[a, b]$ kapalı aralığında tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre $x \in (a, b)$ için I. $f^2(x)$ II. $\frac{1}{f(x)}$ III. $x \cdot f(x)$ fonksiyonlarından hangileri $(a, b)$ aralığında kesinlikle azalandır?

Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system is shown with a function graph labeled $y = f(x)$ defined on the closed interval $[a, b]$. The graph is decreasing, concave up, and convex. The points $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$ are marked with solid black dots. Dashed lines connect these points to the x-axis, marking $a$ and $b$.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Fatma, grafiği verilen fonksiyon üzerinde türev ve artan azalanlık ilişkisini inceleyeceğimiz bir soru ile karşı karşıyayız.

Fonksiyon Analizi

2
Adım 2

Grafiğe baktığımızda bir kaç temel bilgi ediniyoruz. Birincisi, x değerleri a ile b arasında pozitif tarafta olduğu için x sıfırdan büyüktür.

$$x > 0$$
3
Adım 3

İkincisi, fonksiyonun grafiği x-ekseninin üzerinde yer aldığından f x değerleri pozitif yani sıfırdan büyüktür.

$$f(x) > 0$$
4
Adım 4

Üçüncüsü ise en kritiği. Grafik soldan sağa doğru aşağıya indiği için bu azalan bir fonksiyondur. Dolayısıyla türevi sıfırdan küçüktür.

$$f'(x) < 0$$
5
Adım 5

Şimdi bu üç temel bilgiyi kullanarak öncülleri tek tek türev yardımıyla inceleyelim. Unutmayalım ki bir fonksiyonun türevi negatifse o fonksiyon azalandır.

Öncülleri İnceleyelim

$$x > 0$$
$$f(x) > 0$$
$$f'(x) < 0$$
6
Adım 6

Birinci öncülde f kare x fonksiyonu verilmiş. Bu ifadenin türevini alalım.

$$\frac{d}{dx}[f^2(x)] = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$$
7
Adım 7

Burada iki pozitif, f x grafikten gördüğümüz üzere pozitif, ancak f'in türevi negatiftir. Artı çarpı artı çarpı eksiden sonuç negatif çıkar.

8
Adım 8

Türev negatif olduğu için f kare x fonksiyonu bu aralıkta kesinlikle azalandır. Birinci öncül doğrudur.

9
Adım 9

İkinci öncüle geçelim. Bir bölü f x fonksiyonunun türevini bölümün türevi kuralıyla hesaplayalım.

İkinci Öncül

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)}\right) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2$$

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Functions and Derivatives
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Kübik Fonksiyonun Ekstremum Değerleri Functions and Derivatives · Zor Cubic Polynomial Interpretation on Grid Functions and Derivatives · Zor Analytic Geometry and Function Optimization Question Functions and Derivatives · Zor f fonksiyonunun artan olduğu aralık Functions and Derivatives · Orta Üçüncü Dereceden Fonksiyonun Kökleri Functions and Derivatives · Zor Polinomun yerel ekstremum noktaları ve katsayı analizi Functions and Derivatives · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir