Flächenberechnung und Bestimmung von Funktionstermen

Um die Aufgabe 4.3 vollständig lösen zu können, nehmen wir an, dass die Funktion f aus einem vorherigen Teil als drei mal Sinus von 2x gegeben war. Dies passt perfekt zur Struktur dieser Aufgabe.

Die Funktion g ist im Aufgabentext als drei mal Kosinus von 2x vorgegeben.

Zunächst zeigen wir, dass sich die Schaubilder bei x gleich pi Achtel schneiden. Dafür setzen wir den Wert in f ein.

Das gleiche machen wir für die Funktion g. Wir sehen, dass sich nach dem Einsetzen und Kürzen exakt derselbe Wert ergibt.

Da die Funktionswerte übereinstimmen, ist der Schnittpunkt an dieser Stelle erfolgreich nachgewiesen.

Nun berechnen wir den Inhalt der angesprochenen Fläche, die im ersten Quadranten von der y-Achse und den beiden Graphen bis zum Schnittpunkt eingeschlossen wird.

Da g an der Stelle null einen Wert von 3 hat und f dort 0 ist, verläuft der Kosinus-Graph in diesem Bereich oberhalb. Wir setzen unsere beiden Funktionen in das Integral ein.

Jetzt bilden wir die Stammfunktion. Unter Berücksichtigung der inneren Ableitung 2 ist das Integral von drei Kosinus 2x gleich drei Halbe Sinus 2x, und aus minus drei Sinus 2x wird plus drei Halbe Kosinus 2x.

Wir setzen zuerst die obere Grenze pi Achtel ein und subtrahieren danach den Wert für die untere Grenze null.

Wir bestimmen die Standardwerte: Sinus und Kosinus von pi Viertel betragen beide Wurzel zwei Halbe. Sinus von 0 ist 0, Kosinus von 0 ist 1.

Das vereinfacht sich zu drei Wurzel zwei Halbe minus drei Halbe. Klammert man den Bruch aus, erhalten wir das exakte Endergebnis für den Flächeninhalt.