Finding Side Length in a Triangle with Bisectors
Published:
In triangle $ABC$, the angle at $B$ is $90^\circ$. $AQ$ is the angle bisector of $\angle A$ and $CP$ is the angle bisector of $\angle C$.
Given:
$AQ = 9$
$CP = 8\sqrt{2}$
$AC = ?$
This question includes visual content: A right-angled triangle ABC with the right angle at vertex B. Point P lies on the side AB and point Q lies on the side BC. A line segment AQ connects vertex A to point Q. A line segment CP connects vertex C to point P. The angle BAC is bisected by the line segment AQ, indicated by two equal green arcs. The angle BCA is bisected by the line segment CP, indicated by two equal blue arcs. The given lengths are segment AQ = 9 and segment CP = 8 times the square root of 2. The question asks for the length of segment AC.
Animated Video Solution
The first half plays free, the full solution is in the app.
Step by Step Written Solution
Merhaba arkadaşlar. Bu geometri probleminde bizden AC uzunluğunu bulmamız isteniyor. Verilenlere göre AQ dokuz, CP ise sekiz karekök iki birim.
Verilenler
- $AQ = 9$
- $CP = 8\sqrt{2}$
- $AC = ?$
Şimdi şekle dikkatle bakalım. A ve C köşelerinde renkli açılar var. Bu tür sorularda bu işaretleme, genellikle bu doğruların **açıortay** (angle bisector) olduğunu gösterir. Çözüme bu varsayımla yaklaşacağız.
Analiz
Renkli açılar $\Rightarrow$ Açıortay
Bu durumda A açısına iki alfa, C açısına iki beta diyelim. Dik üçgen olduğu için A artı C doksan derecedir. Yani alfa artı beta kırk beş derece olur.
Önce ABQ üçgenine odaklanalım. Kosinüs alfa, komşu kenar c bölü hipotenüs dokuzdur. Buradan c kenarını dokuz çarpı kosinüs alfa olarak yazabiliriz.
Kenar Bağıntıları
Aynı şekilde CBP üçgeninde, kosinüs beta eşittir a bölü sekiz karekök iki. Buradan a kenarını da yazalım.
Beta yerine kırk beş eksi alfa yazarak a'yı düzenleyelim. Kosinüs fark formülünü kullanırsak...
Kosinüs kırk beş eksi alfanın açılımını yapıp sadeleştirdiğimizde, a eşittir sekiz parantezinde kosinüs alfa artı sinüs alfa buluruz.
Şimdi büyük ABC üçgenine dönelim. Tanjant A, yani tanjant iki alfa, karşı bölü komşu yani a bölü c'ye eşittir.
Temel Denklem
Bulduğumuz a ve c ifadelerini yerine koyalım.
Bu ifadeyi sadeleştirirsek, sağ taraf sekiz bölü dokuz çarpı bir artı tanjant alfa olur.
Sol taraftaki tanjant iki alfayı yarım açı formülüyle açalım. Bunu t cinsinden yazalım, t eşittir tanjant alfa olsun.
Her iki tarafı sadeleştirelim. t birden küçük olduğu için bir artı t'leri götürebiliriz.
The rest of this solution is on Solvi
11 more steps are locked. Watch the full animated, narrated solution for free.
Snap a photo, solve any question like this.
Watch the Rest for Free
Free to download · First solutions are on us
