f fonksiyonu türev ve bileşke sorusu

Merhaba Atakan, gel bu polinom sorusuna birlikte bakalım. Soruda f fonksiyonunun sabit olmayan bir polinom olduğu ve belirli bir eşitliği her x gerçel sayısı için sağladığı verilmiş.

Eşitliğin sağ tarafına dikkat edersen, f bileşke f sıfır değeri bir sabittir. Bu sabite büyük C diyelim.

Eğer f sabit olmayan bir polinom ise, f'in içine yazdığımız değer değiştikçe sonuç da normalde değişirdi. Sonucun her x için sabit kalması ancak f'in türevinin kendisinin bir sabit olmasıyla mümkündür.

Türevi sabit olan bir polinom, birinci dereceden bir polinomdur. Yani f x eşittir a x artı b formundadır.

Şimdi bu f x fonksiyonunu kullanarak ana eşitliğimizi tekrar yazalım.

Sol taraf f bileşke f türev x, yani f a değeridir. Fonksiyonda x yerine a yazarsak a kare artı b buluruz.

Sağ taraf ise f bileşke f sıfır değeridir. Önce f sıfırı bulalım, o da b'ye eşittir. Sonra f b'yi hesapladığımızda a b artı b elde ederiz.

Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.

Her iki taraftaki b'leri sadeleştirirsek, a kare eşittir a carpi b olur.

f fonksiyonu sabit olmadığına göre a sıfırdan farklıdır. Bu durumda a eşittir b sonucuna ulaşırız.