Eşkenar Üçgenlerin Çevrel Çember Merkezleri Arasındaki Uzaklık
Yayınlanma:
3. Hakan Öğretmen geometri dersinde öğrencilerine aşağıdaki soruyu sormuştur.
[Tahta Görseli]
- Kenar uzunlukları 18 cm olan ABC ve $6\sqrt{3}$ cm olan DCE eşkenar üçgenleri çiziniz.
- [AC] ile [DC] arasındaki açının ölçüsü $30^\circ$ olsun.
- ABC ve DCE üçgenlerinin çevrel çember merkezleri arasındaki uzaklığı bulunuz.
Öğrencilerden ikisi farklı cevaplar vermelerine rağmen, Hakan Öğretmen her ikisini de doğru kabul etmiştir.
Buna göre öğrencilerin bulduğu farklı iki doğru cevabın toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18
Soruda görsel içerik var: Soru bir yazı tahtası görseli üzerinde verilmiştir. Tahta üzerinde kenar uzunlukları 18 cm ve 6√3 cm olan iki eşkenar üçgenin çizilmesi, bu üçgenlerin birer köşesinin (A ve D noktaları) [AC] ve [DC] kenarları arasında 30 derecelik açı oluşturacak şekilde konumlandırılması ve bu üçgenlerin çevrel çember merkezleri arasındaki uzaklığın bulunması istenmektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceylan. Hakan Öğretmen'in sorduğu bu güzel geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Sorunun Analizi
- ABC eşkenar üçgeni: Kenar uzunluğu $a = 18\text{ cm}$
- DCE eşkenar üçgeni: Kenar uzunluğu $b = 6\sqrt{3}\text{ cm}$
- $[AC]$ ve $[DC]$ arasındaki açı $30^\circ$'dir.
- Bizden bu iki üçgenin çevrel çember merkezleri arasındaki olası iki mesafenin toplamı isteniyor.
İlk olarak, eşkenar üçgenlerde çevrel çember merkezinin aynı zamanda ağırlık merkezi olduğunu hatırlayalım.
Çevrel Çember Merkezi Özellikleri
Bir kenarı $s$ olan eşkenar üçgende, köşelerin ağırlık merkezine uzaklığı yani çevrel çember yarıçapı $R$ formülü ile bulunur:
R eşittir s bölü karekök üç formülünü kullanarak her iki üçgen için merkezlerin C köşesine olan uzaklıklarını bulalım.
Birinci üçgenimiz olan ABC için kenar uzunluğu on sekiz santimetredir. Formülde yerine yazalım.
Pay paydayı karekök üç ile genişletirsek, on sekiz bölü üçten altı karekök üç santimetre elde ederiz.
Şimdi ikinci üçgenimiz olan DCE için aynı hesabı yapalım. Kenar uzunluğu altı karekök üçtür.
Burada karekök üçler sadeleşir ve yarıçapı altı santimetre buluruz.
Şimdi bu merkezlerin oluşturduğu açıları inceleyelim. Her iki üçgen de eşkenar olduğu için, C köşesinden merkezlere çizilen doğrular açıortaydır.
Açı Analizi
- $CO_1$ doğrusu $\widehat{C}$ açısının açıortayıdır: $\angle(AC, CO_1) = 30^\circ$
- $CO_2$ doğrusu $\widehat{C}$ açısının açıortayıdır: $\angle(DC, CO_2) = 30^\circ$
- Soruda $[AC]$ ile $[DC]$ arasındaki açının $30^\circ$ olduğu verilmiştir.
Bu durumda, üçgenlerin birbirine göre konumuna bağlı olarak merkezler arasındaki açı iki farklı değer alabilir. Gelin bu iki durumu çizelim.
Olası İki Durum:
1. Açıların farkı alındığında aradaki açı otuz derece olabilir.
2. Açıların toplamı alındığında aradaki açı doksan derece olabilir.
İlk durumu çizerek inceleyelim. Aradaki açının otuz derece olduğu durumu ele alalım.
1. Durum: $\theta = 30^\circ$
Bu üçgende bilinmeyen d bir kenarını bulmak için Kosinüs Teoremini uygulayabiliriz.
Değerleri yerine yazalım. CO bir, altı karekök üç ve CO iki, altıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
