Eşkenar Üçgenin İçindeki Noktanın Alan Oranları

Merhaba Bengisu, bu videoda seninle birlikte çok güzel bir geometri sorusu çözeceğiz. Hazırsan başlayalım.

Soruda ABC'nin bir eşkenar üçgen olduğu verilmiş. D noktasından kenarlara dikmeler indirilmiş. Bu dikmelerin uzunluklarına sırasıyla h bir, h iki ve h üç diyelim.

Bizden istenen oran ise, h iki bölü h bir oranıdır. Şimdi bu uzunlukları alanlarla ilişkilendirelim.

Bir eşkenar üçgende, içteki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin oluşturduğu bu dörtgensel bölgelerin alanları için çok şık bir formül vardır.

Benzer şekilde diğer bölgelerin alanlarını da döngüsel olarak yazabiliriz. S iki alanını yazalım.

Ve son olarak, S üç alanını da aynı kurala göre ifade edelim.

Soruda bize S iki ve S üç alanlarının birbirine eşit olduğu verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak h bir, h iki ve h üç arasındaki ilişkiyi bulalım.

İki alanın formüllerini birbirine eşitleyelim ve her iki taraftaki ortak katsayıları sadeleştirelim.

Eşitliğin her iki tarafındaki h iki kare terimlerini sadeleştirebiliriz.

Terimleri bir araya getirelim. h bir kare eksi h üç kareyi sol tarafta, h iki terimlerini ise sağ tarafta toplayalım.

Şimdi sol tarafı iki kare farkı olarak açalım, sağ tarafı ise eksi dört h iki parantezine alalım.

h bir, h iki ve h üç uzunluk ölçüleri olduğundan her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, h bir artı h üç eşittir eksi dört h iki olması imkansızdır.