Eşitsizlik Sistemi ve Kösler

Selam Yağmur, bu soruda bize bir eşitsizliğin çözüm kümesinin, verilen üç aralıktan ikisinin kesişimi olduğu söylenmiş. Bu bilgiyi kullanarak a artı b toplamını bulalım.

Öncelikle genel eşitsizliğimizi yazalım. x kare artı parantez içinde a artı üç çarpı x artı b küçüktür sıfır.

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi bir açık aralık olmalı. Köklerimize x bir ve x iki diyelim. Çözüm kümesi x parantezinde x eksi x bir çarpı x eksi x iki küçüktür sıfır formundadır.

Ayrıca a ve b'nin tam sayı olduğu belirtilmiş. Bu çok önemli bir ipucu. a ve b tam sayıysa, kökler toplamı ve kökler çarpımı da tam sayı olmalıdır.

Şimdi verilen aralıkların kesişimlerini inceleyerek hangisinin kökler toplamı ve çarpımının tam sayı verdiğine bakalım. Birinci aralığımız eksi iki kök iki ile kök beş arası.

İkinci aralığımız eksi kök beş ile beş arası.

Üçüncü aralığımız ise eksi kök iki ile kök beş arası.

Şimdi bu kümelerin ikili kesişimlerini hesaplayalım. Birinci ve ikinci kümenin kesişimi, alt sınırların büyüğü olan eksi kök beş ile üst sınırların küçüğü olan kök beş arasındadır.

Bu durumda köklerin çarpımı eksi kök beş çarpı kök beşten eksi beş olur. Toplamları ise sıfırdır. Her ikisi de tam sayıdır! Bu uygun bir aday.

İkinci ve üçüncü kümenin kesişimine bakalım. Alt sınırların büyüğü olan eksi kök iki ile üst sınırların küçüğü olan kök beş arası.

Burada çarpım eksi kök on olur. Kök on bir tam sayı değildir, bu yüzden bu seçeneği eliyoruz.