Eşitsizliğin Daima Sağlanması

Selamlar. Bu soruda bize verilen bir eşitsizliğin her reel sayı için daima sağlandığı bilgisiyle, n değişkeninin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulacağız.

Öncelikle verilen eşitsizliğimizi yazalım. İki x kare artı üç x artı n büyüktür x kare artı iki x artı bir.

Eşitsizliği daha rahat inceleyebilmek için sağ taraftaki tüm terimleri sol tarafa geçirelim ve sağ tarafı sıfır yapalım.

Benzer terimleri kendi arasında toplarsak; x kare artı x artı n eksi bir büyüktür sıfır ifadesini elde ederiz.

Bu eşitsizliğin daima gerçekleşmesi demek, elde ettiğimiz bu ikinci dereceden fonksiyonun grafiğinin her zaman x ekseninin üzerinde olması demektir.

Kollar yukarı doğru olduğu için, katsayımız birdir ve bu fonksiyonun reel kökü olmamalıdır. Yani diskriminant, yani deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

Şimdi denklemimizdeki katsayıları belirleyelim. A eşittir bir, b eşittir bir ve sabit terimimiz olan c eşittir n eksi bir.