Ekstremum Noktaları ve Türev Grafiği
Yayınlanma:
21. Dik koordinat düzleminde tanım kümesi $(-1, 5)$ aralığı olan türevlenebilir f fonksiyonunun türev grafiği verilmiştir.
[Grafik görüntüsü]
a bir tam sayı olmak üzere f ile aynı aralıkta tanımlı ve türevlenebilir olan
$$g(x) = f(x) - a \cdot x$$
kurallı g fonksiyonunun sadece 2 tane ekstremum noktası olduğu bilinmektedir.
Buna göre a sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 5
B) 9
C) 8
D) 6
E) 2
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat sisteminde $(-1, 5)$ aralığında tanımlı $y=f'(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik, $x=-1$ noktasında açık bir boşlukla başlar ve $y=5$ seviyesine yakın bir noktadan başlar, $x=2$ noktasında $y=4$ olan bir yerel maksimuma ulaşır, $x=4$ noktasında $y=1$ olan bir yerel minimuma düşer ve $x=5$ noktasında sona erer. $y=3$ seviyesinde bir yatay kesim bulunmaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Seden, bu soruda türev ve ekstremum noktaları arasındaki ilişkiyi kullanarak a tam sayısının alabileceği değerleri bulacağız.
Fonksiyonun Ekstremum Noktaları
Bize g fonksiyonu f eksi a çarpı x olarak verilmiş. Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için önce türevini almalıyız.
g'nin türevini aldığımızda, g türev x eşittir f türev x eksi a ifadesini elde ederiz.
g fonksiyonunun ekstremum noktaları, g türev x'in sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği yerlerdir. Yani f türev x'in grafiği ile y eşittir a doğrusunun kesiştiği ve birbirini kestiği noktaları aramalıyız.
Şimdi grafiği daha yakından inceleyelim ve y eşittir a yatay doğrularını çizerek kaç tane kesişim noktası olduğuna bakalım.
Grafiğe göre, f türev x'in değerleri bir ile beş aralığındadır. a bir tam sayı olduğu için bir, iki, üç, dört ve beş değerlerini kontrol edelim.
a tam sayısı için olasılıklar: $1, 2, 3, 4, 5$
Eğer a eşittir bir ise, y eşittir bir doğrusu grafiğe x eşittir dörtte teğet geçer. Teğet geçilen noktalarda türev işaret değiştirmediği için ekstremum noktası oluşmaz.
Eğer a eşittir iki ise, y eşittir iki doğrusu grafiği iki farklı noktada keser. Bu noktalarda f türev x eksi iki ifadesi işaret değiştireceği için tam olarak iki tane ekstremum noktası oluşur.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
