EBOB ve EKOK ile İlgili Sayı İkilisi Bulma

Merhaba Ali, bu güzel AYT sorusunu birlikte adım adım çözelim. Sorumuzda A ve B doğal sayıları için EBOB ve EKOK değerleri verilmiş.

Bize verilen ilk eşitlik, A ve B sayılarının en küçük ortak katının on faktöriyel olduğudur.

İkinci eşitlik ise, bu iki sayının en büyük ortak böleninin yedi faktöriyel olduğudur.

Şimdi bu iki bilgiyi kullanarak sayılarımızı tanımlayalım. En büyük ortak bölen yedi faktöriyel olduğuna göre, A ve B sayıları yedi faktöriyelin birer katı olmalıdır.

Burada çok önemli bir kuralımız var. Sayıların EBOB'unun tam olarak yedi faktöriyel kalması için, x ve y çarpanlarının aralarında asal olması gerekir.

Eğer x ve y aralarında asal olmasaydı, ortak bir bölenleri olurdu ve bu bölen EBOB değerini yedi faktöriyelden daha büyük bir sayıya taşırdı.

Şimdi de EKOK bilgisini devreye sokalım. A ve B sayılarının en küçük ortak katı, ortak bölenleri olan yedi faktöriyel ile aralarında asal olan x ve y çarpanlarının çarpımına eşittir.

Soruda bu en küçük ortak katın on faktöriyel olduğu söylenmişti. O halde, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.

Bu eşitlikte x çarpı y ifadesini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını yedi faktöriyele bölelim.

Şimdi bu bölme işlemini sadeleştirerek x çarpı y değerini bulalım.

Pay ve paydadaki yedi faktöriyel terimleri birbirini sadeleştirir.

Geriye kalan on, dokuz ve sekiz sayılarının çarpımını hesaplayalım.

Bulduğumuz yedi yüz yirmi sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Bu sayede x ve y sayılarına çarpanları nasıl dağıtacağımızı göreceğiz.