EBOB ve Aralarında Asallık Problemi

Merhaba Zehra, hadi bu güzel EBOB sorusunu birlikte çözelim.

Öncelikle soruda bize verilen bilgileri not edelim. A bir pozitif tam sayı, B ve C ise aralarında asal olmayan, birbirinden farklı pozitif tam sayılarmış.

Bize EBOB B virgül C için bir rasyonel ifade verilmiş. Bu ifade bir tam sayı belirtmeli çünkü EBOB her zaman bir tam sayıdır.

Bu ifadenin bir tam sayı olması için pay kısmının, paydanın bir katına tam bölünmesi gerekir. İşlemi kolaylaştırmak adına payı 16 ile çarpalım, böylece 16 a kare ifadesini 4 a artı 1'in karesiyle ilişkilendirebiliriz.

İfadeyi açtığımızda 16 a kare artı 64 bölü 4 a artı 1 elde ederiz.

Polinom bölmesi yaparsak, 16 a kare eksi 1 ifadesinin 4 a artı 1'e tam bölündüğünü görürüz. Bu yüzden payı 16 a kare eksi 1 artı 65 şeklinde yazalım.

İki kare farkından dolayı ilk kısım tam bölünür ve geriye 65 bölü 4 a artı 1 kalır.

Buradan anlıyoruz ki 4 a artı 1 ifadesi 65'in bir böleni olmalıdır. 65'in bölenleri 1, 5, 13 ve 65'tir.

A pozitif bir tam sayı olduğu için 4 a artı 1 ifadesi 1'den büyük olmalı. 5'e eşitlersek a buradan 1 gelir.

Şimdi a eşittir 1 değerini orijinal EBOB denkleminde yerine koyalım.