EBOB ve Aralarında Asal Olmayan Sayılar

Merhaba Mehmet, bu soruda bize a bir pozitif tam sayı, B ve C ise aralarında asal olmayan, birbirinden farklı pozitif tam sayılar olarak verilmiş.

B ve C sayılarının en büyük ortak böleni, yani EBOB'u, a kare artı dört bölü dört a artı bir olarak tanımlanmış.

EBOB her zaman bir pozitif tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla bu kesrin bir tam sayı belirtmesi gerekiyor.

a bir pozitif tam sayı olduğuna göre, bu kesri tam sayı yapacak en küçük a değerini arayalım. a eşittir bir için kontrol edelim.

a eşittir bir olduğunda EBOB bir çıkıyor. Ancak soruda B ve C'nin aralarında asal olmadığı söylenmiş. EBOB bir ise aralarında asaldırlar, demek ki a bir olamaz.

Şimdi a eşittir iki için deneyelim.

Gördüğün gibi a eşittir iki bir tam sayı vermedi. a'nın diğer değerlerine bakalım. Kesrin paydasının karesel bir büyüme göstermediğini fark ediyoruz.

a eşittir üç için de EBOB yine bir çıktı, bu da aralarında asal oldukları anlamına gelir. Yani bu değer de uygun değil.

Payın paydadan büyük veya eşit olması gerektiği için a değerini artırmaya devam edelim. a eşittir yedi değerine bir göz atalım.

Peki, tam sayı sonucunu veren bir sonraki durum nedir? a eşittir on üç için deneyelim. Üst taraf yüz yetmiş üç, alt taraf elli üç ediyor, tam bölünmüyor.

Aslında bu ifadenin tam sayı olması için paydanın payı bölmesi lazım. Polinom bölmesi gibi düşünürsek, ifadenin birden büyük bir tam sayı çıkması için a'nın oldukça büyük olması gerekir.

Bu eşitsizliği çözersek a kare eksi dört a artı üç büyük eşittir sıfır olur. Bu da a büyük eşittir üç veya a küçük eşittir bir demektir. Bizim için EBOB'un birden büyük olması lazım.