Dördüncü Dereceden Polinom Analizi

Merhaba Zeynep, bugün seninle polinomlar üzerine güzel bir AYT sorusu çözeceğiz. Hadi başlayalım.

Sorumuzda dördüncü dereceden bir P x polinomunun, her x gerçel sayısı için x küpten büyük veya eşit olduğu söylenmiş. Bu kritik bir bilgi.

Ayrıca bize P eksi bir, P sıfır ve P iki değerleri verilmiş. Bu değerlere dikkatle bakalım.

Kritik gözlem şu: Verilen x değerlerini, x küp fonksiyonunda yerine koyduğumuzda ne elde ediyoruz?

Fark ettin mi? Eksi bir ve iki noktalarında P x değeri tam olarak x kübe eşit çıkıyor. Yani polinomumuz x küp eğrisine bu noktalarda değiyor.

Şimdi yeni bir fonksiyon tanımlayalım: Q x eşittir P x eksi x küp.

P x dördüncü dereceden olduğu için Q x de dördüncü dereceden bir polinomdur.

Asıl önemli nokta şu: P x her zaman x küpten büyük veya eşit olduğu için, Q x her zaman sıfırdan büyük veya eşittir.

Ve biliyoruz ki Q eksi bir sıfıra, Q iki de sıfıra eşit.

Bir polinom her zaman sıfırdan büyükse ve kökleri varsa, bu kökler çift katlı kök olmak zorundadır.

Yani Q x polinomu, x artı birin karesi ve x eksi ikinin karesi çarpanlarını içermelidir.

Dördüncü dereceden olduğunu biliyoruz, bu yüzden başka bir değişken çarpanımız yok. Sadece baş katsayı olan ayi bulmamız gerekiyor.