Dördüncü dereceden P(x) polinomu katsayı problemi

Merhaba Ceylin, bu polinom sorusunu birlikte ele alalım. Dördüncü dereceden bir polinomumuz var ve bu polinomla ilgili çok önemli kısıtlamalar verilmiş.

İlk olarak, polinomun dördüncü dereceden olduğunu ve başkatsayısının bir olduğunu biliyoruz. En kritik bilgi ise pix eşittir sıfır denkleminin çözüm kümesinin sadece bir elemanlı olması.

Buna ek olarak p-üçün sıfır olduğu verilmiş. Çözüm kümesi tek elemanlı olduğuna göre, bu tek kök mutlaka üç olmalıdır.

Bir polinomun dördüncü dereceden olup sadece bir kökü varsa, bu kök çift katlı ya da dördüncü dereceden tam kuvvet olmalıdır. Fakat reel sayılarda çözüm kümesinin bir elemanlı olması, polinomun x eksi üçün dördüncü kuvveti çarpı pozitif bir değer veya benzeri bir formda olmasını gerektirir.

Ancak çözüm kümesinin bir elemanlı olması demek, grafik olarak x eksenine sadece bir noktada değmesi ve altına inmemesi demektir. Polinomu şu şekilde genelleyelim.

P-üç sıfır olduğu için r değerimiz üçtür. Eğer polinom sadece x eksi üçün dördüncü kuvveti olsaydı, sabit terimi kontrol edelim.

x yerine sıfır yazdığımızda sabit terimi buluruz. eksi üçün dördüncü kuvveti seksen bir yapar. Ancak soruda sabit terimin on sekiz olduğu söylenmiş. Bu durum mümkün değil.

Demek ki polinomun içinde reel kökü olmayan, daima pozitif olan bir çarpan daha var. Polinomu x eksi üçün karesi çarpı bir ikinci derece denklem olarak düşünelim.

Burada x kare artı bx artı c ifadesinin deltası sıfırdan küçük olmalı ki yeni bir reel kök gelmesin. Şimdi sabit terimi kullanalım.

Dokuz çarpı c eşittir on sekizden, c değerini iki olarak buluruz.