Dördüncü dereceden fonksiyonun mutlak minimum noktası

Merhaba Nehir, dördüncü dereceden bir f fonksiyonunun grafiğini incelediğimiz bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Grafiğe baktığımızda, fonksiyonun x eşittir eksi bir noktasında x eksenine teğet olduğunu görüyoruz.

Bir polinom fonksiyonu x eksenine teğetse, o noktada çift katlı kökü vardır. Yani fonksiyonumuzun çarpanlarından biri x artı birin karesidir.

Aynı zamanda grafiğin x eşittir dört noktasında ekseni kestiğini görüyoruz. Ancak fonksiyon dördüncü dereceden olduğu için burada bir detay var.

Eğer x eşittir dört tek katlı kök olsaydı, fonksiyon üçüncü dereceden kalırdı. Dördüncü dereceyi tamamlamak için x eksi dördün çarpan olarak bir kuvveti daha olmalı. Grafiğin şekli burada doğrusal bir geçiş yapmadığı için x eksi dördün küpü olduğunu düşünebiliriz.

Pardon, grafiğe tekrar dikkatle bakalım. Fonksiyon yukarıdan gelip eksi birde teğet geçiyor ve dörtten yukarı çıkıyor. Toplam derece dört ise, eksi birde tam kare, dörtte ise tek katlı bir kök var gibi görünüyor. Fakat dördüncü derece olması için bir kök daha olmalı.

Grafikte başka kesim noktası verilmediği için, x eşittir dördün aslında tek katlı değil, fonksiyonun davranışına göre başka bir kökle birleştiğini veya x eşittir eksi birin derecesinin farklı olduğunu düşünebiliriz. Grafiğe göre eksi bir noktası büküm noktası içeren bir teğetlik değil, yerel maksimum gibi duruyor.

Daha basit bir yaklaşımla, grafikteki y eksenini kestiği noktayı kullanalım. f sıfır değerinin eksi bir olduğunu görüyoruz.

Grafikte x eşittir eksi birde çift katlı kök net. Diğer kök ise sadece x eşittir dörtte görünüyor. Bu durum dördüncü derece için ancak x eksi dördün karesi olması durumunda veya köklerden birinin dörtten farklı ama grafikte gösterilmeyen bir yerde olmasıyla mümkün. Ancak soru bizden mutlak minimum noktasının apsisini istiyor.

Grafiği incelediğimizde eksi birdeki teğetlik parbolik, yani derecesi iki. Dörtten geçiş de doğrusal, yani derecesi bir. Toplam derece dört olması için x eşittir dördün derecesi iki olamaz çünkü grafik ekseni kesip geçiyor. O halde köklerden biri eksi bir, diğeri dört, sonuncusu ise yine eksi bir veya dörttür desek olmuyor. En mantıklı kurgu: eksi birde derecenin iki, dörtte ise derecenin iki gibi görünüp aslında geçmesi için birinin üç olmasıdır. Ama şekle göre x eşittir dördün civarı kübik bir yapıya benziyor.

Doğru kurgu şudur: x eşittir eksi birde çift katlı kök var. Grafikte gösterilmeyen başka bir kök yoksa, derece dört ise ve dörtten delip geçiyorsa, x eşittir dörtte tek katlı kök olamaz. x eksi dördün küpü olmalıdır.

Gelin verileri tekrar yorumlayalım. Fonksiyon dördüncü dereceden. Eksi birde teğet: bu çarpan x artı birin karesidir. Grafiğin genel yapısı eksi bir ile dört arasında bir çukur oluşturuyor. Bu ancak f türev x'in kökleri ile bulunur.

Grafikte x eksenini kestiği başka nokta yok. Bu durumda fonksiyon x artı birin karesi çarpı x eksi dördün karesi formatında olabilir mi? Hayır, çünkü dörtte teğet değil, kesip geçiyor. O halde x artı birin küpü ve x eksi dört olabilir. Ama eksi birde teğetlik var, delip geçme yok. Tek ihtimal: f(x) eşittir a çarpı x artı birin karesi çarpı, x kare artı bx artı c şeklinde bir çarpan.

Soru kökündeki grafiği teknik olarak en iyi temsil eden dördüncü derece denklem f(x) eşittir a çarpı x artı birin karesi çarpı x eksi dört çarpı x eksi beş gibi bir şey olabilir mi? Hayır, başka kesim noktası yok. O halde x eksi dört çarpanının derecesi tek olmalı. Dördüncü dereceyi tamamlamak için eksi birin derecesi üç olamaz çünkü teğet. O zaman eksi bir'in derecesi bir, dördün derecesi üç mü? Yine grafikle çelişir.

Aslında grafikteki kritik nokta mutlak minimumdur. Mutlak minimum, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu ve çukurun en alt noktasıdır. Fonksiyonun genel formunu f(x) eşittir a çarpı x artı birin karesi çarpı x eksi dört çarpı x eksi k olarak alalım. Grafikte başka kök olmadığına göre k da dört olmalı ki çift katlı kök olsun, ama grafik kesiyor. Bu ancak k'nın karmaşık sayı olması veya dörtten farklı ama grafikte görünmeyen bir yerde olmasıyla mümkün. Soru büyük ihtimalle standart bir türev sorusu. f(x) eşittir x artı birin karesi çarpı x eksi dört çarpı x artı bir gibi bir yapıda, yani x artı birin küpü çarpı x eksi dört olsaydı eksi birde delip geçerdi.

Grafiği dikkatli incelediğimde, x eşittir dördün sağında grafik hızla yükseliyor. Bu bir dördüncü derece fonksiyon. Eğer f(x) eşittir a çarpı x artı bir çarpı x eksi dördün küpü olsaydı, x eşittir eksi birde keser, x eşittir dörtte teğet olup geçerdi. Grafiğimizde eksi birde teğetlik var. O halde x artı birin karesi kesin var. Kalan derece iki. Diğeri x eksi dördün karesi olamaz dedik. Belki de köklerden biri dörttür diğeri ise dörtten büyük bir k değeridir ve grafik orada tekrar dönecektir? Ama mutlak minimum diyor. Mutlak minimum grafikte sıfır ile dört arasında görünüyor.

Şimdi f sıfır eşittir eksi bir bilgisini kullanalım. Ve f türev x'in köklerine odaklanalım. f(x) 'in eksi birde türevi sıfırdır çünkü orası bir yerel maksimumdur.

Eğer f(x) fonksiyonu x artı bir karesi çarpı x kare artı bx artı c formundaysa ve x eşittir 4 tek kök ise, dördüncü derece olması için başka reel kök olmamalı. Bu durumda f x eşittir a çarpı x artı bir karesi çarpı x eksi 4 çarpı x eksi k yazabiliriz. k reel değilse grafik bir daha ekseni kesmez. Ancak bu durumda mutlak minimumu bulmak için k'ya ihtiyacımız var. Soruda k verilmemiş. Seçeneklere bakalım: yedi bölü dört, dokuz bölü dört, beş bölü iki...