Doğrusal Fonksiyonlar ve Limit İlişkisi

Merhaba arkadaşlar. Bu 2025 AYT matematik sorusunda f(x) doğrusal bir fonksiyon olarak a x artı b biçiminde verilmiş.

Soruda limitin içinde f fonksiyonunun tersi de geçtiği için, f'in tersini bulalım. Doğrusal bu fonksiyonun tersi x eksi b bölü a olur.

Şimdi bize verilen limit eşitliğini yazalım ve bulduğumuz fonksiyonları burada yerine koyalım.

f(x) yerine a x artı b, f'in tersi yerine ise x eksi b bölü a yazıyoruz.

Bölme işlemini düzenleyelim. Paydadaki bölü a'yı ters çevirip paya çarpan olarak geçirirsek ifademiz bu şekli alır.

İfademizde x yerine b koyduğumuzda, paydanın b eksi b'den sıfır olduğunu görüyoruz.

Limiti alınan ifadenin sonucunun sonlu bir c reel sayısına eşit çıkabilmesi için, elimizde sıfır bölü sıfır belirsizliği olması zorunludur. Yani x b'ye giderken pay kısmı da sıfır olmalıdır.

Soruda a'nın sıfırdan farklı olduğu belirtilmişti. O halde kalan ifade olan a b artı b sıfır olmak zorundadır. Burayı b parantezine aldığımızda, b çarpı, a artı bir eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

Çarpımın sıfır olması için iki farklı ihtimal vardır. Ya b sıfır olmalıdır, veya a eksi bir olmalıdır. Şimdi bu iki durumu ayrı ayrı inceleyeceğiz.

İlk durumda b'nin sıfır olduğunu kabul edelim. Bu durumda f(x) fonksiyonumuz a çarpı x olur.

b'yi sıfır kabul ettik.

Soruda verilen f bir eşittir üç bilgisini kullanarak a'yı bulalım. x yerine bir yazarsak, a'nın üç olduğunu görürüz.