Doğal Sayılar ve Asal Sayılar Üzerine Bir Soru

Merhaba arkadaşlar. Bugün TYT tarzı güzel bir tam kare sayı ve asal sayı sorusunu birlikte çözeceğiz.

Canset, yirmi ile otuz arasındaki tüm doğal sayıları, yani yirmi ve otuz dahil olmak üzere defterine yazıyor. Gelin önce bu sayı kümesini görelim.

Bu listede kaç tane sayı olduğuna bakalım. Terim sayısı formülünden, son terim eksi ilk terim artı bir yardımıyla toplamda on bir tane sayımız olduğunu buluruz.

Şimdi bu sayıların toplamını hesaplayalım. Ardışık sayılar olduğu için ortanca terim çarpı terim sayısı bize toplamı verir.

Yirmi artı otuz, elli yapar. Yarısı yirmi beş. Yirmi beş çarpı on bir ise iki yüz yetmiş beştir.

Soruda Canset'in iki sayı sildiği söyleniyor. Bu sayılardan biri asal, diğeri ise asal olmayan bir sayı. Sildiğimiz asal sayıya p, asal olmayana ise x diyelim.

Kalan sayıların toplamı bir tam kare olmalıymış. İşlemimizi kuralım: Tüm toplam olan iki yüz yetmiş beşten, sildiğimiz p ve x'in toplamını çıkarınca bir doğal sayının karesine ulaşmalıyız.

Önce elimizdeki asal sayıları belirleyelim. Yirmi ile otuz arasındaki asal sayılar yirmi üç ve yirmi dokuzdur.

Şimdi bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim. İlk olarak silinen asal sayının yirmi üç olduğunu varsayalım.

P yerine yirmi üç yazdığımızda denklemimiz; iki yüz yetmiş beş eksi parantez içinde yirmi üç artı x, eşittir k kare olur.

İki yüz yetmiş beşten yirmi üçü çıkarırsak, iki yüz elli iki eksi x eşittir k kare elde ederiz.

İki yüz elli ikiye en yakın tam kare sayıları düşünelim. On beşin karesi iki yüz yirmi beş, on altının karesi ise iki yüz elli altıdır.