Dikdörtgen Şeklindeki Ayna Sorusu
Yayınlanma:
Kısa kenar uzunluğu $\sqrt{8}$ dm ve alanı desimetrekare cinsinden tam kare doğal sayı olan dikdörtgen şeklindeki ayna aşağıda verilmiştir.
[Görsel 1: Dikdörtgen bir ayna, kısa kenarı $\sqrt{8}$ dm]
Ayna, kısa kenarına paralel olacak şekilde dikey kesimler ile aşağıdaki gibi üç parçaya ayrılmıştır.
[Görsel 2: 3 parçaya ayrılmış dikdörtgen, yükseklik yine $\sqrt{8}$ dm, parçalar soldan sağa sırasıyla 1. Parça, 2. Parça, 3. Parça olarak etiketlenmiştir]
Üç parçanın da diğer kenar uzunlukları, a ve b tam sayıları 1'den büyük olmak üzere $a\sqrt{b}$ şeklinde yazılabilmektedir. 1. ve 2. parçanın alanları desimetrekare cinsinden birbirinden farklı tam kare doğal sayılardır.
Buna göre aynanın parçalanmadan önceki alanının desimetrekare cinsinden alabileceği en küçük değer için, 3. parçanın diğer kenarının desimetre cinsinden uzunluğunun en küçük değeri, hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?
A) 3 ile 4
B) 4 ile 5
C) 5 ile 6
D) 6 ile 7
Soruda görsel içerik var: İki ana grafik öğesi bulunmaktadır. Üstte, tek parça dikdörtgen şeklinde bir ayna ve sol kenarında '$\sqrt{8}$ dm' yazılı bir etiket var. Altta ise aynanın dikey kesimlerle 3 parçaya ayrılmış hali bulunur; her bir parçanın yine '$\sqrt{8}$ dm' yüksekliğinde olduğu gösterilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Nihan, bu kareköklü sayı sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Dikdörtgen Ayna Problemi
Öncelikle aynamızın kısa kenar uzunluğunu sadeleştirelim. Kök sekiz desimetre, iki kök iki desimetreye eşittir.
Şimdi aynanın parçalanmadan önceki alanını düşünelim. Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır. Soruda bu alanın bir tam kare doğal sayı olduğu söylenmiş.
Kök iki ile çarpıldığında doğal sayı elde etmek için uzun kenar mutlaka kök iki çarpanı içermelidir. Uzun kenara, x bir tam sayı olmak üzere x kök iki diyelim.
Alan yani dört x ifadesinin bir tam kare olması gerekiyor. En küçük değer istendiği için x yerine bir tam kare çarpan ekleyelim. Mesela x bir olursa alan dört olur ve bu bir tam karedir. Ancak parçalarla ilgili kısıtlamaları incelememiz gerekecek.
Şimdi aynanın üç parçaya ayrıldığı duruma bakalım. Her parçanın uzun kenarı, a ve b birden büyük tam sayılar olmak üzere a kök b şeklinde yazılıyor.
Parçaların Kenar Uzunlukları
Üç parçanın da diğer kenar uzunlukları a kök b formunda ve a, b birden büyüktür. Bu durumda en küçük b değeri iki olmalıdır ki çarpım sonunda rasyonel bir alan elde edelim.
Birinci ve ikinci parçanın alanları birbirinden farklı tam kare doğal sayılardır. Birinci parçanın kenarına a bir kök iki diyelim.
Dört çarpı a bir tam kare ise, a bir sayısının kendisi de bir tam kare olmalıdır. a bir birden büyük olduğu için alabileceği en küçük değer dörttür. Bu durumda birinci alan on altı olur.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
