Dik dairesel koni hacim ve benzerlik sorusu

Selamlar. İki bin yirmi iki AYT sınavında çıkan bu geometri sorusunu birlikte çözelim. Hacimleri eşit olan iki dik dairesel koni biçimindeki külahın zeminle olan konumları verilmiş. Bizden üstteki külahın tepe noktasının zemine uzaklığı isteniyor.

Külahların zemin olan uzaklıkları yüksekliklerini verir. Sarı külahın yüksekliği sekiz birim, mavi olanın yüksekliği ise on iki birimdir.

Soruda hacimlerin eşit olduğu söylenmiş. Bir koninin hacim formülü bir bölü üç çarpı pi çarpı r kare çarpı h şeklindedir.

Sarı külahın yarıçapına r bir, mavinin yarıçapına r iki diyelim. Hacimlerini eşitleyelim.

Burada pi bölü üçler birbirini götürür. Sekiz r bir kare eşittir on iki r iki kare denklemini elde ederiz.

Sadeleştirme yaparsak, iki r bir karesi üç r iki karesine eşit olur.

Buradan r bir bölü r iki oranının karekök üç bölü karekök iki olduğunu bulabiliriz. Bu kalsın, birazdan benzerlikte kullanacağız.

Şimdi şekle tekrar bakalım. Küçük koninin sarı külah içinde kalan kısmı, sarı külahtan kesilmiş küçük bir koni gibidir.

İç içe geçen kısımlardaki benzerliği kullanırsak r iki bölü r bir oranı, yüksekliğin toplam yüksekliğe oranına eşittir.

Az önce bulduğumuz oranının tersi olan karekök iki bölü karekök üçü yerine yazalım.