Daire Desenli Uzunluk Problemi

Merhaba İrem, bu güzel LGS geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Şekildeki desende iki farklı renkte daireler bulunuyor. Bunlar turuncu ve pembe dairelerdir. Bu dairelerin çapları AB doğrusu üzerinde yer alıyor.

Deseni incelediğimizde, toplamda dört adet turuncu daire ve altı adet pembe daire olduğunu sayabiliriz.

Şimdi desendeki sarı ipin durumuna bakalım. Sarı ip, her dairenin sınırından dalgalı bir şekilde geçiyor. Dikkat edersek, her dairenin tam olarak yarısı sarı iple kaplanmıştır.

Bu durumda, sarı ipin toplam uzunluğu, dört adet turuncu dairenin yarım çevresi ile altı adet pembe dairenin yarım çevresinin toplamına eşittir.

Gelin dairelerin yarıçaplarını tanımlayarak matematiksel modelimizi kuralım.

Turuncu dairelerin yarıçapına büyük R diyelim. Pembe dairelerin yarıçapına ise küçük r diyelim.

Bir çemberin çevresinin iki pi r formülü ile hesaplandığını biliyoruz. Soruda pi yerine üç almamız istenmiş.

Pi yerine üç yazarsak, çevre altı katı olur. Dolayısıyla yarım çevre, üç çarpı yarıçap uzunluğuna eşit olacaktır.

Şimdi sarı ipin toplam uzunluğunu veren denklemi yazabiliriz.

Dört adet turuncu dairenin her birinin yarım çevresi üç R dir. Altı adet pembe dairenin her birinin yarım çevresi de üç r dir.

Bu terimleri çarptığımızda, on iki R artı on sekiz r eşittir yüz sekiz elde ederiz.

Denklemin her iki tarafını altı ile sadeleştirerek daha basit bir form elde edelim. İki R artı üç r eşittir on sekiz buluruz.

Şimdi de soruda verilen ikinci bilgiyi kullanarak yarıçaplar arasındaki ilişkiyi yazalım.

Pembe dairelerin yarıçapı r, turuncu dairelerin yarıçapı R'nin üçte birinden bir buçuk santimetre fazladır denmiş.