Daima artan fonksiyon sorusu

Merhaba Fatma, seninle birlikte bu güzel AYT türev sorusunu adım adım çözelim.

Bize f x fonksiyonu a x küp artı b x kare artı x artı yedi olarak verilmiş ve bu fonksiyonun daima artan olduğu söylenmiş.

Bir fonksiyonun daima artan olması için, türevinin her x gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

Hadi f x in türevini alalım. Üsleri başa indirip bir azaltıyoruz.

Bu ikinci dereceden bir ifadedir ve her zaman sıfırdan büyük veya eşit kalması için iki şartımız var. Birincisi, baş katsayı pozitif olmalı, yani a sıfırdan büyük olmalı.

İkincisi ise, ifadenin diskriminantı, yani deltası, sıfırdan küçük veya eşit olmalı ki kökü olmasın veya tek bir çift katlı kökü olsun.

Hemen deltayı hesaplayalım. İki b nin karesi eksi dört çarpı üç a çarpı bir küçük eşittir sıfır diyoruz.

Buradan dört b kare eksi on iki a küçük eşittir sıfır sonucuna ulaşırız.

Her iki tarafı dörde bölerek sadeleştirelim. b kare küçük eşittir üç a elde ederiz. Bu bizim birinci önemli eşitsizliğimiz.

Şimdi soruda verilen diğer bilgiyi kullanalım. f eksi birin sıfıra eşit olduğu söylenmiş.

Fonksiyonda x yerine eksi bir yazalım. eksi a artı b eksi bir artı yedi eşittir sıfır olur.

Düzenlersek, eksi a artı b artı altı eşittir sıfır buluruz.

Buradan a yı b cinsinden yazalım. a eşittir b artı altı olur.

Şimdi bulduğumuz a değerini demin elde ettiğimiz delta eşitsizliğinde yerine yazalım.