Çeyrek Çember Grafiği ve İntegral
Yayınlanma:
6. Bir kenar uzunluğu 2 birim olan kare biçimindeki bir şeffaf kâğıdın üzerine 2 birim yarıçaplı bir çeyrek çember Şekil - 1'deki gibi çiziliyor. Daha sonra bu kâğıt, çeyrek çemberin uç noktaları (0, 0) ve (a, b) olacak biçimde Şekil - 2'deki gibi dik koordinat düzlemine yerleştirilerek kırmızı renkli $f$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. $\int_{0}^{a} f(x) dx = 0$ olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) $\pi$ B) $1 + \pi$ C) $2 + \pi$ D) $2\sqrt{\pi}$ E) $\pi - \sqrt{\pi}$
Soruda görsel içerik var: Şekil 1'de kenar uzunluğu 2 olan bir kare içinde yarıçapı 2 olan bir çeyrek çember gösterilmektedir. Şekil 2'de ise aynı kare, köşelerinden biri orijin (0,0) olacak ve diğeri (a, b) noktasında bulunacak şekilde koordinat düzlemine döndürülmüştür. Çeyrek çemberin yayı, orijinden (a, b) noktasına uzanan kırmızı renkli bir fonksiyon grafiğini (f) temsil eder. Kare, orijinden (a, b) noktasına kadar olan bölgeyi tarar.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ali, bu güzel geometri ve integral sorusunu birlikte çözelim. Kenar uzunluğu 2 birim olan bir kare ve içine çizilmiş bir çeyrek çemberimiz var.
Karenin ve Çemberin Özellikleri
Şekil Bir'de gördüğümüz çeyrek çemberin alanı, bir kenarı iki olan karenin alanının dörtte biridir. Yani pi çarpı iki'nin karesi bölü dört, pi'ye eşittir.
Bu kağıdı dik koordinat düzlemine yerleştirdiğimizde, eğrimiz f x fonksiyonunu oluşturuyor. İntegral sıfırdan a ya f x dx eşittir sıfır bilgisi verilmiş.
Bu integralin sıfır olması demek, x ekseninin üstünde kalan alanın, altında kalan alana eşit olması demektir. Şimdi Şekil İki'deki geometrik yapıyı inceleyelim.
Karenin köşegenini çizersek, bu köşegenin uzunluğu iki kök iki birimdir. Şekil iki'de başlangıç noktasından a virgül b noktasına giden kırmızı çizgi aslında bu köşegendir.
A noktasının koordinatları a ve b ise, bu noktanın orijine uzaklığı karekök içinde a kare artı b karedir. Bu da karenin köşegenine, yani iki kök ikiye eşittir.
Her iki tarafın karesini aldığımızda, a kare artı b kare eşittir sekiz denklemini elde ederiz.
Şimdi integralin geometrik anlamına geri dönelim. f x fonksiyonu ile x ekseni arasındaki net alan sıfırmış. Bu, x ekseninin üstündeki bölgenin alanının, alttakine eşit olduğunu söyler.
Alan Dengesi
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
