Çemberler Etrafına Sarılan İpin Uzunluğu

Merhaba Fatma, bu soruda çemberlerin etrafına gergin bir şekilde sarılan iplerin uzunluklarını logaritmik olarak ifade edip, r yarıçapını A ve B cinsinden bulacağız.

Öncelikle genel kuralı hatırlayalım. n tane özdeş r yarıçaplı çember birbirine dıştan teğet ve bir ip bu grubun etrafını sarıyorsa, ipin uzunluğu düz kısımlar ve kavisli kısımların toplamıdır.

Şekil Bir üzerinden inceleyelim. Burada iki çember var. İpin düz kısımları, merkezleri birleştiren doğrulara paraleldir ve her biri iki r uzunluğundadır. İki tane düz kısmımız var.

Yay kısımları ise toplamda bir tam çemberin çevresine eşittir, yani iki pi r değerindedir. O halde Şekil Bir için ip uzunluğunu yazalım.

Buradan log A eşittir dört r artı iki pi r sonucuna ulaşırız.

Şimdi Şekil İkiye bakalım. Burada üç çember birbirine teğet. Düz kısımlar, merkezleri birleştiren eşkenar üçgenin kenarlarına paraleldir ve her biri yine iki r uzunluğundadır.

Üç tane düz kısmımız olduğu için toplamda altı r yapar. Kavisli kısımlar ise her zaman olduğu gibi bir tam çember eder, yani iki pi r.

Düzenlersek, log B eşittir altı r artı iki pi r olur.