Çemberde Teğet ve Uzunluk Problemi
Yayınlanma:
Şekildeki küçük çember $[AB]$ çaplı çembere $C$ noktasında teğettir. $D$ noktası teğet noktasıdır. $|AC| = 31 \text{ cm}$ ve $|DC| = 7\sqrt{2} \text{ cm}$ olduğuna göre $|AD| = x$ kaç cm dir?
A) 30 B) 28 C) 26 D) 25 E) 24
Soruda görsel içerik var: A large semicircular arc with diameter AB is shown. Inside this arc, a small full circle is tangent to the arc at point C and tangent to the diameter AB at point D. A triangle is formed by points A, C, and D. The segment AC is a chord of the larger circle. The segment AD is part of the diameter AB and is labeled with 'x'. The segment DC is a chord of the small circle and its length is labeled as $7\sqrt{2}$. Point A is the left endpoint of the diameter, B is the right endpoint. Point C is on the arc of the larger circle, and D is on the diameter AB.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu soruda, AB çaplı bir yarım çember ile içerisine çizilmiş ve D noktasında çapa, C noktasında ise büyük çembere teğet olan küçük bir çember verilmiş. Bizden AD uzunluğu olan x isteniyor.
Verilenler
- $|AC| = 31$
- $|DC| = 7\sqrt{2}$
- Merkezler teğet, D noktasında $AB$'ye teğet.
Problemi çözmek için önce şekli temiz bir şekilde çizelim ve çok önemli bir geometri özelliğini kullanalım.
İçten teğet iki çemberde, teğet noktası C bir 'benzeşim (homoteti) merkezi' gibi davranır. Küçük çemberi C noktasından genişletip büyük çemberin üzerine oturttuğumuzu hayal edin.
Küçük çemberin $D$'deki yatay teğeti, büyük çemberde $AB$'ye paralel olan teğete dönüşür. Bu teğet noktası, yayın tam tepesi olan $M$ noktasıdır. Yani $C$, $D$ ve $M$ doğrusaldır.
M noktası yarım çember yayının ortası olduğundan, $AM$ yayı 90 derecedir. Öyleyse, bu yayı gören çevre açı $\angle ACM$ 45 derece olur.
Şimdi $ABC$ üçgenini oluşturalım. Çapı gören çevre açı 90 derece olduğundan $C$ köşesi diktir. $CD$ doğrusunun açıyı 45-45 böldüğünü bulduk. Yani $CD$, bir açıortaydır!
Bir dik üçgende açıortay uzunluğu formülünü hatırlayalım. Dik kenarlar a ve b ise, açıortay uzunluğu şöyledir:
Verilen değerleri yerine koyarak diğer dik kenar a ile 31 arasındaki oranı bulabiliriz.
Her iki taraftan kök ikileri sadeleştirelim.
İçler dışlar çarpımı yapalım.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
