Çember İçine Yerleştirilmiş Çokgenler

Merhaba Aysel, bu güzel geometri sorusunu birlikte çözelim. Soruda bir çember içine yerleştirilmiş düzgün altıgen ve eşkenar üçgen verilmiş.

Öncelikle düzgün altıgenin özelliklerini hatırlayalım. Bir kenarı r ise, merkezinden köşelerine çizilen doğrular altı tane eşkenar üçgen oluşturur.

O noktası çemberin merkezi olduğuna göre, çember üzerindeki E ve C noktalarına olan uzaklıklar çemberin yarıçapına eşittir.

Şimdi altıgenin bir kenar uzunluğuna r diyelim. Bu durumda OE uzunluğu, yani çemberin yarıçapı da r olur.

Daha net görmek için şekli basitleştirerek bir çizim yapalım. Burada merkezi, altıgeni ve üçgeni temsil eden noktaları görelim.

Düzgün altıgende OBC açısına bakalım. Altıgenin bir iç açısı yüz yirmi derecedir. OB köşegen olduğu için bu açıyı altmış derece olarak böler.

ODB üçgeninde, |OD|=|OB|=r ve aradaki açı altmış derecedir. Dolayısıyla ODB aslında bir eşkenar üçgendir. Yani |DB| uzunluğu da r olmalıdır.

Harika! Altıgenin bir kenarını ve çemberin yarıçapını bulduk. İkisi de iki santimetredir.

Şimdi OBC üçgenine odaklanalım. Burada bir kenarı r, diğer kenarı x ve diğer kenarı yine r olan bir üçgen var. Çünkü OC yarıçaptır.

OBC açısını bulmalıyız. Altıgenin iç açısını ve eşkenar üçgenin iç açısını kullanarak ilerleyelim.

Az önce ODB'nin eşkenar olduğunu bulmuştuk, yani OBD açısı altmış derecedir. ABC de eşkenar üçgen olduğundan oradaki açı da altmış derecedir.

OBC açısı altmış derece ise ve yan kenarlar birbirine eşitse, OBC üçgeni de bir eşkenar üçgen olur.

Ancak bir saniye, bu sonuç ABC'nin kenarını buldurur. Tekrar kontrol edelim. E ve C çember üzerinde, D B C doğrusal.

Baştan dikkatle inceleyelim. Altıgenin kenarını r demiştik. $|OE| = r = R$ (yarıçap). Şekilde $|DB|=2$ verilmiş. ODB üçgeninde kuralı uygulayalım.