Calculate f(3) using definite integral and area

Merhaba Helinakhal, bu güzel integral sorusunu birlikte çözelim. İlk olarak soruda bize verilen bilgileri inceleyelim.

Grafikte, f fonksiyonunun altında kalan boyalı bölgenin alanı yirmi birimkare olarak verilmiş. Fonksiyon pozitif değerli olduğu için bu alan, f fonksiyonunun bir ile üç aralığındaki belirli integraline eşittir.

Ayrıca soruda bize, x eksi bir ile f'in türevinin çarpımının bir ile üç arasındaki integralinin altı olduğu verilmiş. Bizden ise f üç değeri isteniyor.

Şimdi, verilen integrali çözmek için kısmi entegrasyon yani integral u d ve formülünü uygulayalım.

Burada, u değerini seçerek başlayalım. u eşittir x eksi bir olsun.

Her iki tarafın diferansiyelini alırsak, de u eşittir de x olur.

Geriye kalan kısmı ise d ve olarak belirleyelim. d ve eşittir f'in türevi x carpi de x olsun.

Her iki tarafın integralini aldığımızda, ve eşittir f x fonksiyonunu buluruz.

Bulduğumuz bu u, de u, ve ile d ve değerlerini kısmi entegrasyon formülünde yerine koyalım.

Öncelikle sınır değerlerini yazacağımız x eksi bir carpi f x terimini inceleyelim.

İlk olarak üst sınır olan üç değerini yerine yazalım. Üç eksi bir carpi f üç, yani iki carpi f üç elde ederiz.