Birim Çemberde Alan Hesabı
Yayınlanma:
28. Aşağıdaki dik koordinat düzleminde O merkezli birim çember verilmiştir.
[Image contains unit circle, axes, triangle DOE (shaded pink), and triangle ABO. Angles labeled alpha are present.]
ABO ve DOC birer üçgen
$[AB] \perp [OB]$
$m(BOA) = m(CDO) = m(DOE) = \alpha$
Buna göre pembe renk ile boyalı bölgenin alanı $\alpha$ türünden aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) $\frac{\sin\alpha}{4}$
B) $\frac{\cos\alpha}{4}$
C) $\frac{\sin 2\alpha}{4}$
D) $\frac{\cot\alpha}{4}$
E) $\frac{\tan\alpha}{4}$
Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system with a unit circle centered at O(0,0). Point A is in the first quadrant on the circle, B is on the x-axis such that AB is perpendicular to OB, making ABO a right triangle. Point D is in the second quadrant on the circle, point E is on the positive y-axis. Triangle DOE is shaded pink. Angles labeled alpha are present at O in triangle DOE, D in triangle DOC, and O in triangle OAB. The line segment OC passes through the interior of the circle.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selamlar. Bu soruda dik koordinat düzlemindeki birim çember üzerinde bazı açılar ve bir pembe üçgen verilmiş. Amacımız bu pembe bölgeli alanı alfa türünden bulmak.
Birim Çember ve Üçgen Alanı
Kritik bilgimiz, bunun bir birim çember olması. Yani O merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık, yani yarıçap, bir birimdir.
Önce verilen açılara bir bakalım. BOA açısı, CDO açısı ve DOE açısı alfa olarak verilmiş. Bu bilgileri kullanarak kenar uzunluklarını belirlemeye başlayalım.
Kenar Uzunlukları
DOE üçgenine odaklanalım. Bu bir dik üçgen değil, ancak E noktası y ekseni üzerinde olduğundan ve çember birim çember olduğundan, bazı trigonometrik oranları yazabiliriz.
D noktası çember üzerinde olduğundan O D uzunluğu bir birimdir. DOE açısı alfa ise, E noktası y ekseninde olduğu için O E D bir dik üçgen değildir. Ancak açılara bakarsak, DO y ekseni ile alfa açısı yapıyor.
O d e üçgeninde, sinüs teoremini veya dikliğe tamamlamayı kullanabiliriz. D noktasının koordinatları eksi sinüs alfa virgul kosinüs alfadır. E noktası y ekseni üzerinde bir nokta.
D E C doğrusunu düşünelim. Şekilde D O C üçgeninin C D O açısı alfa verilmiş. Ayrıca D O E açısı da alfa. Bu, D O nun açıortay olduğunu mu anlatıyor? Hayır, farklı üçgenler.
m(\\widehat{CDO}) = \\alpha, m(\\widehat{DOE}) = \\alpha
Pembe üçgenin alanı için taban ve yükseklik bulalım. Üçgenin köşeleri E, O ve C. Hayır, pembe bölge E, D ve bir C noktası arasında gibi görünüyor. Şekli dikkatli incelersek pembe üçgen E O C üçgenidir.
Pembe Bölge Analizi
Şekilde m BOA eşittir alfa verilmiş. Bu durumda A noktasının koordinatları kosinüs alfa virgul sinüs alfadır. OC doğrusu OA üzerinde olduğuna göre m COB açısı da alfadır.
D noktasının apsisi eksi sinüs alfadır. D E doğrusu yatay bir doğru gibi görünüyor ama değil. CDO açısı alfadır denilmiş.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
