Bire Bir Fonksiyon Problemi

Merhaba İrem, bu güzel fonksiyon sorusunu birlikte adım adım çözelim.

İlk olarak, A kümesi bir, iki, üç, dört ve beş elemanlarından oluşuyor. Fonksiyonumuz A'dan A'ya tanımlı ve bire birdir.

Bize verilen ilk bilgileri yazarak başlayalım. f üç, dört değerine eşit; f beş ise iki değerine eşittir.

Fonksiyonumuz bire bir olduğu için, tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmelidir. Geriye kalan elemanları analiz edelim.

Şimdi üçüncü bilgiyi, yani f bileşke f bileşke f bir eşittir üç eşitliğini inceleyelim.

Buradaki yapıyı daha iyi anlamak için zincirleme bir analiz yapalım. f bir değerine x diyelim, f x değerine de y diyelim. Bu durumda f y eşittir üç olmalıdır.

Burada y değeri, tanım kümesindeki kalan elemanlar olan bir, iki veya dört değerlerinden biri olmak zorundadır. Şimdi bu durumları tek tek deneyelim.

İlk olarak y eşittir bir durumunu deneyelim. Eğer y bir ise f bir eşittir üç olur. Bu durumda f f bir, yani f üç eşittir bir elde edilir. Fakat f üç'ün dört olduğunu biliyorduk. Dolayısıyla burada bir çelişki vardır.

Şimdi de y eşittir dört durumuna bakalım. Eğer y dört ise f dört eşittir üç olur. Buradan f f bir eşittir dört elde ederiz. f üç dört olduğundan f bir eşittir üç olmalıdır. Fakat bu durumda hem f bir hem de f dört üç değerine eşit olur ki bu da bire birlikle çelişir.

O halde elimizde tek bir geçerli durum kalıyor, yani y eşittir iki olmalıdır. Buradan f iki eşittir üç sonucuna ulaşırız.