Binomial Theorem Coefficient Problem

Merhaba Slatt, seninle birlikte bu harika binom açılımı sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak verilen parantez içindeki ifadenin genel terim formülünü yazarak işe başlayalım.

Binom açılımında genel terim formülümüzü, n elemanlı bir küme için, n'in r'li kombinasyonu çarpı, a üzeri n eksi r, çarpı b üzeri r şeklinde ifade ediyorduk.

Bizim sorumuzdaki ifadede, n sayımız dokuza eşit, a terimimiz x kareye, ve b terimimiz ise eksi iki bölü x, yani eksi iki çarpı x üzeri eksi bire eşittir.

Bu değerleri genel terim formülünde yerine koyduğumuzda, dokuzun r'li kombinasyonu çarpı, x karenin dokuz eksi r'inci kuvveti, çarpı, eksi iki çarpı x üzeri eksi birin r'inci kuvvetini elde ederiz.

Şimdi x'li terimlerin kuvvetlerini sadeleştirelim. x karenin dokuz eksi r'inci kuvveti, x üzeri on sekiz eksi iki r olur. x üzeri eksi birin r'inci kuvveti ise x üzeri eksi r'dir.

Bu iki kuvveti tabanları aynı olduğu için topladığımızda, genel terimi, dokuzun r'li kombinasyonu çarpı, eksi ikinin r'inci kuvveti, çarpı, x üzeri on sekiz eksi üç r olarak buluruz.

Şimdi, soruda bizden istenen iki farklı terimin kuvvetlerini incelemek üzere yeni bir sayfaya geçelim.

İlk terimimiz x üzeri dokuz eksi k, ikinci terimimiz ise x üzeri k olarak verilmiş. Bu terimlerin katsayılarını bulmak için uygun r bir ve r iki değerlerini belirleyelim.

İkinci durum için ise on sekiz eksi üç r iki ifadesini, k'ye eşitleriz.

Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak bilinmeyen k değerinden kurtulabiliriz.

Sol tarafları topladığımızda otuz altı eksi üç parantezinde r bir artı r iki elde ederiz. Sağ tarafta ise eksi k ve artı k birbirini götürür ve sadece dokuz kalır.

Bu denklemi sadeleştirdiğimizde, r bir artı r iki toplamını dokuz olarak buluruz. Yani r iki değerimiz, dokuz eksi r bire eşittir.

r bir ve r iki toplamı dokuz olduğu için, binom katsayılarının simetri özelliğinden dolayı, dokuzun r bir'li kombinasyonu, dokuzun r iki'li kombinasyonuna eşit olacaktır.