Binomial Expansion Problem

Selam Zeynep, bu binom açılımı sorusunu birlikte çözelim. Soruda bize iki farklı ifade verilmiş ve bunların x’in azalan kuvvetlerine göre açılımında birer terimin aynı olduğu söyleniyor.

Önce binom açılımının genel terim formülünü hatırlayalım. A artı B üzeri n ifadesinde genel terim, n’in r’li kombinasyonu çarpı A üzeri n eksi r, çarpı B üzeri r şeklindedir.

İlk ifademiz x kare artı a bölü x’in dördüncü kuvveti. Burada A yerine x kare, B yerine ise a çarpı x üzeri eksi 1 yazalım.

Bu açılımın terimlerini genel formülde yerine koyalım. Dörtdün r birli kombinasyonu çarpı x kare üzeri dört eksi r bir, çarpı a bölü x üzeri r bir olsun.

Üsleri düzenleyelim. İki çarpı dört eksi r birden sekiz eksi iki r bir gelir. Paydadaki x üzeri r bir de eksi olarak yukarı çıkar.

Şimdi ikinci ifadeye bakalım: a x artı 1 bölü x’in küpü. Burada da genel terimi r iki kullanarak yazalım.

Buradaki x’li terimleri de birleştirelim. Üç eksi r iki, bir de paydadan gelen eksi r iki ile toplandığında x üzeri üç eksi iki r iki olur.

Soruda bu iki terimin aynı olduğu belirtilmiş. Terimlerin aynı olması için x’in kuvvetlerinin ve katsayılarının birbirine eşit olması gerekir.

Kuvvet denklemine bakalım. Sekiz eksi üç r bir eşittir üç eksi iki r iki. r bir ve r iki birer tam sayı olmalı. Birinci açılımda r bir sıfır, bir, iki, üç veya dört olabilir.

Denklemi düzenlersek, beş eşittir üç r bir eksi iki r iki elde ederiz.