Binomial expansion constant term problem

Merhaba Ahmet, seninle birlikte bu binom açılımı sorusunu çözelim. Soruda m ve n doğal sayı olmak üzere, verilen ifadenin açılımındaki sabit terimin 60 olduğu söylenmiş ve m artı n toplamı soruluyor. Ancak ifadenin tam hali görselde biraz kesik olduğu için, sabit terim kavramını kullanarak genel çözüm yöntemini beraber inceleyelim.

Genel binom açılım formülünü hatırlayalım. (A artı B) üzeri n şeklindeki bir ifadeyi açtığımızda, herhangi bir terim r'inci adımda gösterilir. Bu soruda kuvvetimiz 5 olduğu için, binom katsayısını 5'in r'li kombinasyonu olarak yazacağız.

Sabit terimi bulmak için, değişkenlerin yani x'li ifadelerin kuvvetlerinin toplamının sıfır olması gerekir. Çünkü x üzeri sıfır bir eder ve değişken ortadan kalkar.

Görseldeki ifadenin (m x kare artı n bölü x küp) üzeri 5 olduğunu varsayarsak, çözüm şu şekilde ilerler. Burada 5'in r'li kombinasyonunu alıyoruz.

Şimdi x'li terimleri bir araya getirelim. Üstleri düzenlediğimizde x üzeri (10 eksi 2r) çarpı x üzeri (-3r) elde ederiz. Bunları toplarsak x üzeri (10 eksi 5r) olur.

Sabit terim için x'in kuvvetinin sıfır olması gerektiğini söylemiştik. Yani 10 eksi 5r eşittir 0 olmalı. Buradan r eşittir 2 bulunur.