Binomial expansion coefficient problem

Merhaba Sila, seninle birlikte bu binom açılımı sorusunu adım adım çözelim.

Parantez içindeki ifademiz, x üzeri dört eksi iki bölü x küp, ve bunun n'inci kuvveti.

Bu ifadenin açılımında toplam n artı bir tane terim bulunur.

Bir açılımdaki katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine bir yazarız. Yani x eşittir bir yazalım.

Buradan, bir eksi iki üzeri n, yani eksi bir üzeri n elde ederiz.

Şimdi aritmetik ortalama bilgisini kullanarak n değerini bulalım.

Yani, katsayılar toplamı olan eksi bir üzeri n'i, terim sayısı olan n artı bire bölüyoruz. Bu oran eksi bir bölü sekize eşitmiş.

Eşitliğin sağ tarafı negatif olduğu için, sol tarafın payındaki eksi bir üzeri n ifadesi de negatif olmalıdır. Bu durum, n değerinin tek bir doğal sayı olduğunu gösterir.

Paylar eşit olduğunda paydaların da eşit olması gerekir. Bu durumda n artı bir, sekize eşittir.

Buradan n değerini yedi olarak buluruz. Yedi bir tek sayıdır, dolayısıyla şartımızı sağlar.

Şimdi n eşittir yedi için x üzeri yedili terimi bulmaya çalışalım.

Genel terimimiz, yedinin r'li kombinasyonu çarpı, x üzeri dördün yedi eksi r'inci kuvveti çarpı, eksi iki bölü x küpün r'inci kuvvetidir.