Binomial Expansion Coefficient Question

Merhaba Tuğba! Bugün seninle 2021 AYT sınavında çıkmış harika bir binom açılımı sorusunu çözeceğiz.

Sorumuzda bir binom ifadesi verilmiş ve bu ifadenin açılımındaki katsayıların aritmetik ortalaması sıfır virgül iki olarak belirtilmiş. Bizden ise x kareli terimin katsayısı isteniyor. Gelin adım adım çözelim.

Bir binom açılımında, tüm katsayıların toplamını bulmak için çok pratik bir yöntemimiz var: Değişkenler yerine bir yazarız. Bu temel bir kuraldır.

İfademizde x yerine bir koyarak katsayılar toplamını elde edelim.

Parantez içindeki işlem, bir eksi ikiden eksi bir olur.

Yani, katsayılar toplamımız eksi bir üzeri n olarak bulunur.

Şimdi de terim sayısını bulalım. Bir binom açılımında, üs n ise açılımda tam n artı bir tane terim bulunur.

Katsayıların aritmetik ortalaması, katsayılar toplamının terim sayısına bölünmesiyle bulunur.

Bulduğumuz ifadeleri formülde yerine yazarsak, aritmetik ortalama eksi bir üzeri n bölü n artı bir olur.

Soruda bu aritmetik ortalamanın sıfır virgül ikiye eşit olduğu verilmiş. Sıfır virgül iki, kesir olarak bir bölü beşe eşittir.

Bu eşitliği incelediğimizde, sağ taraf pozitif olduğu için sol tarafın da pozitif olması gerekir. Bu da eksi bir üzeri n ifadesinin artı bir olmasını gerektirir.

Eksi birin ancak çift kuvvetleri artı bir olduğundan, n sayısının bir çift sayı olduğunu anlarız.

Bu durumda eşitliğimiz, bir bölü n artı bir eşittir bir bölü beş haline gelir.