Binom açılımında katsayı hesabı

Merhaba Sümeyye, bu videoda seninle birlikte AYT sınavında çıkabilecek çok güzel bir binom açılımı sorusunu adım adım çözeceğiz.

İlk olarak, genel bir binom açılımı formülünü hatırlayarak başlayalım. İki terimli bir ifadenin açılımında genel terimi nasıl yazarız, ona bakalım.

Şimdi bu genel formülü, sorumuzda verilen x kare artı x üzeri n ifadesine uyarlayalım.

Burada birinci terimimiz x kare, ikinci terimimiz ise x'tir. Bunları formülde yerine yazalım.

Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim. x karenin n eksi r'inci kuvveti, x üzeri iki n eksi iki r yapar. Bunu x üzeri r ile çarptığımızda üstleri toplarız.

Böylece genel terimimizdeki x'in kuvveti iki n eksi r olur. Katsayımız ise n'in r'li kombinasyonudur.

Şimdi yeni bir sayfada, soruda verilen birinci terimi, yani x üzeri on dokuz eksi n'li terimi inceleyelim.

Bu terimin kuvvetini, bulduğumuz genel formüldeki x'in kuvvetine eşitleyelim. Bu durumdaki r değerine r bir diyelim.

Buradan r bir değerini yalnız bırakırsak, r bir eşittir üç n eksi on dokuz buluruz.

Binom açılımındaki bir terimin geçerli olması için r bir değerinin sıfır ile n arasında bir tam sayı olması gerekir.

Bu eşitsizliğin sol tarafını çözersek, üç n büyük eşittir on dokuz olur. n bir tam sayı olduğu için n en az yedi olmalıdır.

Eşitsizliğin sağ tarafını çözersek, iki n küçük eşittir on dokuz, yani n en fazla dokuz olur.

Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, n'in alabileceği değerler kümesi yedi, sekiz ve dokuzdur.

Şimdi de soruda verilen ikinci terimi, yani x üzeri on altı eksi n'li terimi aynı yöntemle inceleyelim.

Kuvveti yine genel formülümüzdeki iki n eksi r'ye eşitleyelim ve bu durumdaki r değerine de r iki diyelim.

Buradan r iki değerini çekersek, r iki eşittir üç n eksi on altı olur.