Binomial Expansion Coefficient Question

Merhaba Yüsra, seninle beraber binom açılımı içeren bu güzel soruyu çözelim. Sorumuzda n bir sayma sayısı olarak verilmiş ve bir ifadenin n inci kuvvetinin açılımındaki terimlerden biri bizlerle paylaşılmış.

İfademiz x bölü y artı y bölü x'in n inci kuvveti. Bu açılımda bir k katsayısı ve yanında x bölü y çarpanı olan bir terimimiz var.

Binom açılımının genel terim formülünü hatırlayalım. n nin r li kombinasyonu çarpı birinci terimin n eksi r inci kuvveti çarpı ikinci terimin r inci kuvveti şeklinde yazılır.

Burada birinci terimimiz x bölü y, ikinci terimimiz ise y bölü x. İkinci terimi x bölü y cinsinden yazarsak, x bölü y'nin eksi birinci kuvveti olur.

Üsleri düzenlediğimizde, x bölü y'nin toplam kuvveti n eksi r eksi r, yani n eksi iki r olur. Bu ifadenin katsayı kısmına k diyeceğiz.

Terimimiz k çarpı x bölü y olduğuna göre, x bölü y'nin kuvveti bir olmalıdır. Yani n eksi iki r eşittir bir denklemini elde ederiz.

Buradan n'i yalnız bırakırsak n eşittir iki r artı bir olur. Ayrıca k katsayısının n'in r'li kombinasyonuna eşit olduğunu görüyoruz.

Bizden k artı n toplamının alabileceği değerler isteniyor. r değerlerine göre bu toplamları bulalım. Unutmayın r bir doğal sayıdır ve n'den küçük veya eşittir.

Şimdi r'ye değerler vererek k artı n toplamlarını küçükten büyüğe sıralayalım. İlk olarak r eşittir sıfır ile başlayalım.