Binomial Açılımında Katsayı Problemi

Selamlar arkadaşlar! Bugün binom açılımı ile ilgili güzel bir soruyu birlikte çözeceğiz.

Sorumuzda n bir doğal sayı olmak üzere, x küp artı x'in n inci kuvveti ifadesi veriliyor. Bu açılımdaki terimleri inceleyelim.

Binom açılımının genel terim formülünü hatırlayalım. Bir artı r inci terim, n'in r'li kombinasyonu çarpı birinci terimin n eksi r inci kuvveti, çarpı ikinci terimin r inci kuvvetidir.

Şimdi bu genel terimdeki x'lerin kuvvetlerini düzenleyelim. x'in üzerindeki üçü n eksi r ile çarparsak üç n eksi üç r elde ederiz. Yanındaki x üzeri r ile çarptığımızda ise kuvvetleri toplarız.

Yani genel terimimiz, n'in r'li kombinasyonu çarpı x üzeri üç n eksi iki r formatında olacaktır.

Soruda bize x üzeri n artı on ve x üzeri n artı on iki terimlerinden bahsediliyor. İlk olarak n artı onuncu kuvveti veren r değerini bulalım.

Burada iki r'yi karşıya, n'i de sola atalım. İki n eksi on eşittir iki r olur.

Her iki tarafı ikiye böldüğümüzde, r bir değerini n eksi beş olarak buluruz.

Bu terimin katsayısı, n'in n eksi beşli kombinasyonudur.

Şimdi ikinci duruma, yani x üzeri n artı on iki terimine bakalım. Üç n eksi iki r'yi bu sefer n artı on ikiye eşitliyoruz.

Yine benzer şekilde düzenlersek, iki n eksi on iki eşittir iki r olur.